La operación algebraica que recupera un polinomio o sistema afín a partir de un polinomio homogéneo (proyectivo) al especializar la variable de homogeneización a una constante no nula (habitualmente 1) o al escoger una carta afín; convierte ecuaciones homogéneas en coordenadas proyectivas en ecuaciones polinómicas ordinarias en coordenadas afines.

Principio

Elegir una coordenada proyectiva (la variable de homogeneización) que sea invertible en la carta afín seleccionada y sustituirla por un valor no nulo fijo, proyectando así la variedad proyectiva sobre una variedad afín y eliminando el grado de libertad de escala.

Demostración

Dado un polinomio homogéneo F(x0,x1,...,xn) de grado d, fijar x0 = 1 produce f(x1,...,xn) = F(1,x1,...,xn). Para un sistema que define una curva proyectiva, deshomogeneizar respecto a x0 da un sistema afín cuyas soluciones finitas corresponden a las soluciones proyectivas con x0 ≠ 0; las soluciones con x0 = 0 están en el infinito y no se recuperan en esa carta. En búsqueda numérica de raíces, a menudo se deshomogeneiza un sistema homogenizado antes de aplicar solucionadores afines, advirtiendo que las multiplicidades en el infinito pueden perderse o requerir un cambio de coordenadas.

Aplicación incorrecta

Sustituir ciegamente 1 en la variable de homogeneización sin comprobar qué puntos proyectivos tienen esa coordenada no nula puede ocultar soluciones en el infinito; fijar x0 = 0 o imponer un valor no invertible produce ecuaciones afines sin sentido y puede destruir información de multiplicidad o introducir degeneraciones espurias.

Consecuencia

Aplicada correctamente, la deshomogeneización proporciona un sistema afín manejable por métodos algebraicos y numéricos estándar, reduce la dimensión del anillo de coordenadas ambiente en una unidad y ofrece una carta de la variedad proyectiva; no obstante, puede omitir puntos situados en otras cartas proyectivas y alterar la estructura aparente de multiplicidades si no se utiliza con cuidado.

Inversión

Homogeneización: introducir una variable de homogeneización adicional para convertir polinomios afines en formas homogéneas, haciendo disponibles técnicas proyectivas y construcciones basadas en el grado (resultantes, matrices de Macaulay); homogeneización y deshomogeneización son inversas solo hasta la elección de carta y escala.

Límite

Se aplica solo cuando la coordenada proyectiva escogida es invertible (en un cuerpo o anillo donde la constante elegida sea una unidad); no captura los puntos proyectivos en el hiperplano donde la variable seleccionada se anula y no preserva las multiplicidades sistemáticamente sin análisis local adicional o cambio de carta.

Tensión semántica

Existe tensión entre la visión afín local obtenida por deshomogeneización y la perspectiva proyectiva global e invariante: la deshomogeneización simplifica el cálculo pero sacrifica el tratamiento uniforme de las direcciones en el infinito; la elección de carta rompe la canonicidad.

Síntesis

La deshomogeneización es la especialización controlada de la coordenada de homogeneización para producir un modelo afín de un sistema proyectivo: intercambia la invariancia proyectiva global por una representación afín concreta útil para el cálculo, con la posible pérdida de información y la sensibilidad de las multiplicidades al elegir la carta.