Une suite de polynômes obtenue en appliquant l'algorithme d'Euclide à un polynôme réel univarié et à sa dérivée (ou en utilisant une suite de restes signés) dont les variations de signe évaluées aux extrémités d'un intervalle comptent le nombre de racines réelles distinctes de l'intérieur de cet intervalle (théorème de Sturm).

Principe

Construire la suite de restes p0=p, p1=p', p2=−rem(p0,p1), p3=−rem(p1,p2), … jusqu'à la terminaison ; évaluer la suite en a et b et calculer la différence du nombre de changements de signe pour obtenir le nombre de racines distinctes de p dans (a,b).

Démonstration

Pour p(x)=x^3−x, calculer p et p', former la suite de restes signés, évaluer en a=−2 et b=2 ; la différence des variations de signe donne le nombre de racines réelles dans (−2,2), et les intervalles d'isolation se peuvent raffiner par dichotomie en recomptant avec Sturm.

Mauvaise application

Employer les suites de Sturm sans traiter les racines multiples (les multiplicités provoquent des zéros dans la suite et nécessitent une déflation) ou évaluer avec des flottants sans garantie sur le signe peut produire des comptes incorrects ; un calcul erroné des restes signés viole les conditions du théorème.

Conséquence

Une suite de Sturm correcte donne un compte entier exact des racines réelles distinctes dans un intervalle et permet l'isolation certifiée des racines et des procédures de raffinement qui tiennent compte des multiplicités, utiles en calcul réel algébrique exact et dans les étapes de projection de CAD.

Inversion

Au lieu des suites de Sturm on peut utiliser la règle des signes de Descartes ou les bornes de Budan‑Fourier qui fournissent des majorants pour les racines positives ou des comptes modulo multiplicités mais ne donnent pas en général des comptes exacts par intervalle sans raffinements supplémentaires.

Limite

S'applique aux polynômes univariés à coefficients réels et utilise la division euclidienne sur des corps de caractéristique nulle ou avec adaptations appropriées ; elle ne se généralise pas directement aux polynômes multivariés sans réduction à des cas univariés ni aux corps finis sans analogues appropriés.

Tension sémantique

Les suites de Sturm fournissent un comptage exact des racines par variation de signe tandis que les méthodes de PRS sous‑résultant et les solveurs numériques modernes échangent l'exactitude symbolique contre l'efficacité computationnelle ; il existe une tension entre certification exacte et performance pour problèmes larges ou approchés.

Synthèse

La Suite De Sturm est une chaîne de restes euclidiens signés entre un polynôme réel et sa dérivée dont la variation de signe aux extrémités d'un intervalle donne le nombre exact de racines réelles distinctes à l'intérieur ; correctement implémentée, elle est un outil certifié fondamental pour le comptage et l'isolation des racines réelles.