Una secuencia de polinomios obtenida aplicando el algoritmo euclidiano a un polinomio real univariante y a su derivada (o usando una secuencia de restos signados) cuyas variaciones de signo evaluadas en los extremos de un intervalo cuentan el número de raíces reales distintas dentro de ese intervalo (teorema de Sturm).

Principio

Construir la secuencia de restos p0=p, p1=p', p2=−rem(p0,p1), p3=−rem(p1,p2), … hasta la terminación; evaluar la secuencia en a y b y calcular la diferencia en el número de cambios de signo para obtener el recuento de raíces reales distintas de p en (a,b).

Demostración

Para p(x)=x^3−x, calcular p y p', formar la secuencia de restos signados, evaluar en a=−2 y b=2; la diferencia en las variaciones de signo proporciona el número de raíces reales en (−2,2), y se pueden refinar intervalos de aislamiento por bisección usando recuentos de Sturm repetidos.

Aplicación incorrecta

Usar secuencias de Sturm sin tratar raíces múltiples (las multiplicidades producen entradas cero y requieren deflación) o evaluar con valores en coma flotante sin garantía sobre el signo puede dar recuentos erróneos; el cálculo incorrecto de restos signados viola las hipótesis del teorema.

Consecuencia

Una secuencia de Sturm correcta da un conteo entero exacto de raíces reales distintas en un intervalo y apoya la aislación certificada de raíces y procedimientos de refinamiento conscientes de la multiplicidad, útiles en cálculo real algebraico exacto y en pasos de proyección de CAD.

Inversión

En lugar de secuencias de Sturm, puede emplearse la regla de signos de Descartes o las cotas de Budan‑Fourier, que ofrecen cotas superiores para raíces positivas o conteos módulo multiplicidad pero no dan en general conteos exactos por intervalo sin refinamientos adicionales.

Límite

Se aplica a polinomios univariados con coeficientes reales y usa división euclidiana en cuerpos de característica cero o con adaptaciones apropiadas; no se generaliza directamente a polinomios multivariados sin reducción a casos univariados ni a cuerpos finitos sin análogos correspondientes.

Tensión semántica

Las secuencias de Sturm proporcionan conteos exactos por variación de signo mientras que métodos modernos de PRS subresultantes y solucionadores numéricos intercambian exactitud simbólica por eficiencia computacional; existe tensión entre certificación exacta y rendimiento en problemas grandes o aproximados.

Síntesis

La Secuencia De Sturm es una cadena de restos euclidianos signados entre un polinomio real y su derivada cuya variación de signo en los extremos de un intervalo da el número exacto de raíces reales distintas en su interior; bien implementada es una herramienta certificada fundamental para el conteo y la aislación de raíces reales.