Une application d'un espace de paramètres (typiquement la droite projective ou un produit de celles-ci) vers une variété algébrique donnée par des fonctions rationnelles des paramètres ; elle fournit une description explicite, souvent birationnelle, de la variété en termes de coordonnées paramétriques.

Principe

Trouver des fonctions rationnelles en un ou plusieurs paramètres dont les expressions coordonnées satisfont les équations définissant la variété ; l'existence est gouvernée par des critères de rationalité/unirationalité, le genre pour les courbes et la géométrie birationnelle en dimensions supérieures.

Démonstration

Une conique avec un point rationnel admet la paramétrisation rationnelle classique x = (1 - t^2)/(1 + t^2), y = 2t/(1 + t^2) qui envoie la droite projective birationnellement sur la conique et convertit des calculs implicites en calculs de fonctions rationnelles.

Mauvaise application

Supposer qu'une paramétrisation rationnelle existe pour une variété non rationnelle (par exemple une courbe lisse générale de genre ≥ 1) conduit à des assertions globales erronées ; utiliser une paramétrisation sans tenir compte des points de base ou des points exceptionnels peut omettre ou compter double des points.

Conséquence

Si elle existe, la paramétrisation rationnelle permet l'évaluation explicite, la simplification d'intégrales, une implicitisation efficace, l'échantillonnage numérique et le traitement algorithmique de géométrie qui est autrement implicite et plus difficile.

Inversion

La perspective inverse est l'équation implicite : passer d'une paramétrisation rationnelle à sa forme implicite (implicitisation) peut introduire des facteurs extrinsèques ou nécessiter une saturation pour éliminer les artefacts dus aux points de base ; inversement la forme implicite masque la explicité paramétrique.

Limite

Existe seulement pour des variétés rationnelles ou unirationnelles (courbes de genre 0, nombreuses surfaces rationnelles, etc.) sur le corps de base ou après extension de corps ; les paramétrisations peuvent n'être que birationnelles (non bijectives), omettre des points à l'infini et nécessiter une normalisation pour supprimer les points de base.

Tension sémantique

Il existe une tension entre les paramétrisations birationnelles presque partout et celles ayant des points de base ou des recouvrements multiples ; aussi entre paramétrisations algébriques exactes et ajustements paramétriques numériques approximatifs.

Synthèse

La paramétrisation rationnelle est une application algébrique explicite donnée par des fonctions rationnelles d'un espace de paramètres simple vers une variété ; lorsqu'elle existe et est utilisée avec soin, elle ramène des problèmes géométriques implicites à des calculs rationnels abordables, en tenant compte du domaine, des points de base et de la birationnalité.