Una aplicación desde un espacio de parámetros (típicamente la recta proyectiva o productos de ella) hacia una variedad algebraica dada por funciones racionales en los parámetros; proporciona una descripción explícita, a menudo birracional, de la variedad en términos de coordenadas paramétricas.

Principio

Encontrar funciones racionales en uno o más parámetros cuyas expresiones de coordenadas satisfagan las ecuaciones definitorias de la variedad; la existencia está gobernada por criterios de racionalidad/uniracionalidad, por el género en curvas y por la geometría birracional en dimensiones superiores.

Demostración

Una cónica con un punto racional admite la parametrización racional clásica x = (1 - t^2)/(1 + t^2), y = 2t/(1 + t^2) que envía la recta proyectiva birracionalmente sobre la cónica y convierte cálculos implícitos en cálculos con funciones racionales.

Aplicación incorrecta

Suponer que existe una parametrización racional para una variedad no racional (por ejemplo una curva suave general de género ≥ 1) lleva a afirmaciones globales incorrectas; usar una parametrización sin considerar puntos base o puntos excepcionales puede omitir o contar puntos doblemente.

Consecuencia

Cuando existe, la parametrización racional permite evaluación explícita, simplificación de integrales, implicitación eficiente, muestreo numérico y tratamiento algorítmico de geometría que de otro modo sería implícita y más difícil.

Inversión

La perspectiva inversa es la ecuación implícita: pasar de una parametrización racional a su forma implícita (implicitación) puede introducir factores extraños o requerir saturación para eliminar artefactos de puntos base; inversamente, la forma implícita oculta la explicitud paramétrica.

Límite

Existe solo para variedades racionales o uniracionales (curvas de género 0, muchas superficies racionales, etc.) sobre el campo base o tras extensión de campo; las parametrizaciones pueden ser solo birracionales (no biyectivas), omitir puntos en el infinito y requerir normalización para eliminar puntos base.

Tensión semántica

Hay tensión entre parametrizaciones que son birracionales casi en todas partes y parametrizaciones con puntos base o recubrimientos múltiples; también entre parametrizaciones algebraicas exactas y ajustes paramétricos numéricos aproximados.

Síntesis

La parametrización racional es un mapa algebraico explícito dado por funciones racionales desde un espacio de parámetros simple a una variedad; cuando existe y se usa con cuidado convierte problemas geométricos implícitos en cálculos racionales manejables, prestando atención al dominio, a los puntos base y a la birracionalidad.