Représentation locale d'une branche d'une fonction algébrique au voisinage d'un point (souvent singulier) sous la forme d'une série formelle ou convergente en une puissance fractionnaire de la coordonnée locale, autorisant des exposants à dénominateurs bornés.

Principe

On utilise le polygone de Newton et un changement de variable ramifié pour résoudre l'équation algébrique terme à terme ; les pentes du polygone déterminent les exposants fractionnaires et les multiplicités, produisant un recouvrement ramifié fini où la branche s'écrit en série de puissance d'un paramètre fractionnaire.

Démonstration

Pour la courbe plane définie par y^2 = x^3 + x^4 près de x = 0 on obtient une branche y = x^{3/2}(1 + (1/2) x + ...). Le polygone de Newton donne la pente 3/2 et la substitution itérative fournit les coefficients de la série de Puiseux.

Mauvaise application

Appliquer une procédure de Puiseux à une fonction non algébrique (par exemple une fonction transcendantale) ou tronquer la série sans vérifier la ramification peut conduire à des multiplicités incorrectes ou à l'omission du monodromie ; supposer la convergence sans vérifier les conditions en caractéristique positive est également incorrect.

Conséquence

Les développements de Puiseux corrects fournissent des paramétrisations locales, des multiplicités d'intersection explicites, des informations pour la résolution des singularités et l'accès au monodromie et à la continuation analytique des branches algébriques.

Inversion

Une série de Taylor (ou de Laurent) n'utilise que des exposants entiers et s'applique sur des branches non ramifiées ; revenir à une série entière ordinaire empêche de décrire des branches nécessitant des puissances fractionnaires et la ramification.

Limite

Valable pour les fonctions algébriques sur des corps algébriquement clos de caractéristique zéro (et dans de nombreux cas en caractéristique positive suffisamment grande) et décrit uniquement le comportement local au voisinage d'un point ou d'une branche ; il ne donne pas une paramétrisation globale et ne s'applique pas aux fonctions non algébriques.

Tension sémantique

Il existe une tension entre les séries de Puiseux formelles (algébriques, expansions formelles) et les expansions analytiques convergentes ; de même, on peut confondre séries de Puiseux et séries de Laurent lorsque seuls des exposants non entiers les distinguent.

Synthèse

Le développement en séries de Puiseux consiste à résoudre des relations algébriques locales en passant à un paramètre ramifié fini, de sorte que chaque branche s'exprime comme une série en puissances (éventuellement fractionnaires) ; ceci encode de façon compacte la ramification, la multiplicité et la topologie locale des branches algébriques.