Una representación local de una rama de una función algebraica cerca de un punto (típicamente una singularidad) como una serie formal o convergente en una potencia fraccionaria de la coordenada local, permitiendo exponentes con denominadores acotados.

Principio

Se emplea el polígono de Newton y un cambio de variable ramificado para resolver la relación algebraica término a término; las pendientes del polígono determinan los exponentes fraccionarios y las multiplicidades, produciendo una cubierta ramificada finita donde la rama se expresa como serie en un único parámetro fraccionario.

Demostración

Para la curva plana dada por y^2 = x^3 + x^4 cerca de x = 0 se obtiene una rama y = x^{3/2}(1 + (1/2) x + ...). El polígono de Newton da la pendiente 3/2 y la sustitución iterada produce los coeficientes de la serie de Puiseux.

Aplicación incorrecta

Aplicar un desarrollo de Puiseux a una función no algebraica (por ejemplo una función trascendente) o truncar la serie sin comprobar la ramificación puede dar multiplicidades incorrectas o perder la monodromía; suponer convergencia sin verificar condiciones en característica positiva es también erróneo.

Consecuencia

Los desarrollos de Puiseux correctos proporcionan parametrizaciones locales, multiplicidades de intersección explícitas, información para la resolución de singularidades y acceso a la monodromía y a la continuación analítica de ramas algebraicas.

Inversión

Una serie de Taylor (o de Laurent) utiliza solo exponentes enteros y se aplica en ramas no ramificadas; invertir a una serie de potencias ordinaria impide describir ramas que requieren genuinamente potencias fraccionarias y ramificación.

Límite

Válido para funciones algebraicas sobre cuerpos algebraicamente cerrados de característica cero (y en muchos casos en característica positiva suficientemente grande) y describe solo el comportamiento local cerca de un punto o rama; no proporciona una parametrización global ni se aplica a funciones no algebraicas.

Tensión semántica

Existe tensión entre las series de Puiseux formales (algebraicas, expansiones formales) y las expansiones analíticas convergentes; asimismo, las series de Puiseux pueden confundirse con series de Laurent cuando únicamente los exponentes no enteros las distinguen.

Síntesis

La expansión en series de Puiseux consiste en resolver relaciones algebraicas locales pasando a un parámetro ramificado finito de modo que cada rama se escriba como una serie en potencias (posiblemente fraccionarias); esto codifica de forma compacta la ramificación, la multiplicidad y la topología local de las ramas algebraicas.