Un ordre monomial qui compare d'abord le degré total (somme des exposants) et, lorsque les degrés totaux coïncident, départage lexicographiquement selon un ordre de variables choisi. Il combine la priorisation par degré avec un départage lexicographique déterministe.

Principe

Clé primaire : degré total. Clé secondaire : comparaison lexicographique des vecteurs d'exposants selon une précédence de variables fixe. Cette clé à deux niveaux rend l'ordre gradué avec un départage lexicographique des égalités.

Démonstration

Avec x>y>z, comparer x^2y (degré 3) et xy^3 (degré 4). Comme 3<4, xy^3 > x^2y pour l'ordre lexicographique gradué (GrLex). Si les degrés sont égaux, on retombe sur le comparateur lex des exposants.

Mauvaise application

Confondre GrLex avec le lex pur pour l'élimination : comme GrLex priorise le degré total, il ne garantit pas les mêmes propriétés d'élimination que lex et peut ne pas produire les idéaux d'élimination de manière aussi directe.

Conséquence

Utilisé à bon escient, GrLex réduit l'explosion incontrôlée des degrés par rapport au lex pur dans de nombreuses calculs de bases de Gröbner, tout en conservant un départage fixe et reproductible via le lexicographique.

Inversion

Inverser la priorité en utilisant lex (aucune priorité sur le degré) ou employer un départage inverse lexicographique gradué (Grevlex) ; de telles inversions changent les monômes choisis comme leaders et affectent la complexité algorithmique.

Limite

Défini pour les anneaux de polynômes commutatifs avec une graduation par degré total ; il ne remplace pas les ordres gradués pondérés ou les ordres par blocs sans modification explicite.

Tension sémantique

Il est en concurrence avec Grevlex : les deux sont gradués (degré d'abord), mais leurs départages (lex vs inverse-lex) produisent des bases de Gröbner différentes et des performances pratiques différentes.

Synthèse

L'ordre lexicographique gradué classe les monômes par degré total et résout les égalités de degré par comparaison lexicographique des vecteurs d'exposants, sacrifiant la priorité stricte des variables au bénéfice de la prise en compte du degré et d'un départage reproductible.