Un orden de monomios que compara primero el grado total (suma de exponentes) y, cuando los grados totales coinciden, desempata lexicográficamente según una ordenación de variables elegida. Equilibra la priorización basada en grado con un desempate lexicográfico determinista.

Principio

Clave primaria: grado total. Clave secundaria: comparación lexicográfica de los vectores de exponentes usando una precedencia fija de variables. Esta clave de dos niveles hace que el orden sea graduado con desempate lexicográfico.

Demostración

Con x>y>z, comparar x^2y (grado 3) y xy^3 (grado 4). Puesto que 3<4, xy^3 > x^2y en el Orden Lexicográfico Graduado (GrLex). Si los grados coinciden, se recurre al comparador lex de exponentes.

Aplicación incorrecta

Tratar GrLex como equivalente al lex puro para la eliminación: dado que GrLex prioriza el grado total, no garantiza las mismas propiedades de eliminación que lex y puede no producir ideales de eliminación de la misma manera directa.

Consecuencia

Cuando se usa apropiadamente, GrLex reduce la explosión de grados descontrolada en comparación con lex puro en muchas computaciones de bases de Gröbner, preservando a la vez un desempate fijo y reproducible mediante lexicográfico.

Inversión

Invertir la prioridad usando lex (sin prioridad de grado) o usar un desempate inverso-lexicográfico graduado (Grevlex); tales inversiones cambian qué monomios se seleccionan como líderes y afectan la complejidad algorítmica.

Límite

Definido para anillos de polinomios conmutativos con graduación por grado total; no subsume órdenes graduados ponderados ni órdenes por bloques sin modificación explícita.

Tensión semántica

Compite con Grevlex: ambos son graduados (grado primero), pero sus desempates (lex vs. inverso-lex) producen bases de Gröbner diferentes y características prácticas de rendimiento distintas.

Síntesis

El orden lexicográfico graduado ordena monomios por grado total y resuelve empates de grado por comparación lexicográfica de vectores de exponentes, sacrificando la prioridad estricta de variables en favor de la conciencia del grado y un desempate reproducible.