Une généralisation du résultat de Fermat : pour n≥1 entier et a entier avec gcd(a,n)=1, a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n), où φ(n) est la fonction indicatrice d'Euler comptant les unités modulo n.

Principe

Le groupe multiplicatif des unités modulo n a pour ordre φ(n) ; par le théorème de Lagrange, chaque unité élevée à la puissance φ(n) donne l'identité, d'où la congruence a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n).

Démonstration

Pour n=10, φ(10)=4 ; pour a=3 (premier à 10), 3^4=81 et 81 ≡ 1 (mod 10), illustrant le théorème pour un module composé simple.

Mauvaise application

Appliquer la congruence quand gcd(a,n)≠1 ou supposer que φ(n) est l'exposant minimal pour toutes les unités ; dans beaucoup de cas l'exposant véritable peut diviser strictement φ(n) (phénomènes liés à la fonction de Carmichael).

Conséquence

Permet des réductions d'exposants en arithmétique modulaire pour modules composés, sous-tend des idées de type RSA (arithmétique des exposants liée à φ(n)) et justifie le calcul d'inverses modulaires par exponentiation quand le module et la base sont premiers entre eux.

Inversion

Remplacer φ(n) par des exposants universels plus petits (fonction de Carmichael λ(n)) ou chercher des réciproques montre des limites : a^{φ(n)} ≡ 1 n'implique pas que n soit premier ; ces réciproques motivent des tests de primalité plus forts.

Limite

Exige que a soit une unité modulo n et que n soit un entier positif ; ne s'applique pas directement aux résidus non unités ni aux modules avec structure algébrique supplémentaire sans adaptation.

Tension sémantique

Tension entre l'énoncé général d'Euler et des exposants plus précis comme la fonction de Carmichael ; tension aussi avec les algorithmes pratiques qui exploitent des exposants plus petits pour l'efficacité ou avec des structures particulières (groupes d'unités cycliques ou non).

Synthèse

Le théorème d'Euler généralise l'observation de Fermat à tout groupe d'unités modulo n : l'ordre fini φ(n) du groupe entraîne des congruences par exponentiation qui structurent l'arithmétique modulaire et éclairent la théorie algorithmique des nombres.