Una generalización del resultado de Fermat: para n≥1 entero y a con gcd(a,n)=1, a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n), donde φ(n) es la función totiente de Euler que cuenta las unidades módulo n.

Principio

El grupo multiplicativo de unidades módulo n tiene orden φ(n); por el teorema de Lagrange, toda unidad elevada a φ(n) produce la identidad, dando la congruencia a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n).

Demostración

Con n=10, φ(10)=4; para a=3 (coprimo con 10), 3^4=81 y 81 ≡ 1 (mod 10), demostrando el teorema en un caso de módulo compuesto.

Aplicación incorrecta

Aplicar la congruencia cuando gcd(a,n)≠1 o asumir que φ(n) es el exponente mínimo para todas las unidades; en muchos casos el exponente verdadero puede ser un divisor propio de φ(n) (fenómenos de la función de Carmichael).

Consecuencia

Permite reducciones de exponentes en aritmética modular para módulos compuestos, sustenta ideas tipo RSA (aritmética de exponentes ligada a φ(n)) y justifica el cálculo de inversos modulares por exponenciación cuando módulo y base son coprimos.

Inversión

Reemplazar φ(n) por exponentes universales más pequeños (λ(n) de Carmichael) o buscar recíprocas muestra limitaciones: a^{φ(n)} ≡ 1 no implica que n sea primo; el estudio conduce a pruebas de primalidad más fuertes.

Límite

Requiere que a sea una unidad módulo n y que n sea un entero positivo; no se aplica directamente a residuos no unidades ni a módulos con estructura algebraica adicional sin modificaciones.

Tensión semántica

Tensión entre la declaración general de Euler y exponentes más precisos como la función de Carmichael; también tensión con algoritmos prácticos que explotan exponentes menores por eficiencia o con estructuras especiales (grupos de unidades cíclicos vs no cíclicos).

Síntesis

El teorema de Euler abstrae la observación de Fermat al grupo completo de unidades módulo n: el orden finito φ(n) del grupo induce congruencias por potenciación que organizan la aritmética modular e informan la teoría algorítmica de números.