Une méthode qui fournit une borne supérieure et une contrainte de parité pour le nombre de racines réelles positives d'un polynôme à coefficients réels en comptant les changements de signe dans la suite ordonnée de ses coefficients non nuls lorsque le polynôme est écrit par puissances décroissantes.

Principe

Le nombre de racines réelles positives (comptées avec multiplicité) est au plus le nombre de changements de signe entre coefficients consécutifs non nuls, et diffère de ce nombre par un entier pair non négatif.

Démonstration

Pour f(x)=x^4−3x^3+2x^2−5x+1, les signes des coefficients sont +,−,+,−,+ donnant quatre changements de signe ; donc f admet au plus quatre racines réelles positives ; les nombres possibles compatibles avec la règle sont 4, 2 ou 0. Pour les racines négatives on applique la règle à f(−x).

Mauvaise application

Appliquer la règle sans ignorer les coefficients nuls intermédiaires, prendre l'égalité pour la multiplicité des racines alors que la règle ne garantit qu'une borne, ou l'utiliser pour dénombrer des racines complexes non réelles.

Conséquence

Fournit une borne rapide et une contrainte utile pour l'isolation des racines et pour orienter les méthodes numériques : elle restreint les possibilités avant d'utiliser des méthodes donnant un dénombrement exact comme les suites de Sturm.

Inversion

On obtient l'information sur les racines négatives en évaluant f(−x) et en comptant les changements de signe ; pour connaître toutes les racines réelles, il faut combiner le comptage positif et négatif et vérifier la racine en zéro séparément.

Limite

S'applique uniquement aux polynômes à coefficients réels écrits en forme standard ; elle ne détermine pas les multiplicités précisément, ne compte pas les racines complexes non réelles et ne donne qu'une borne supérieure et une contrainte de parité, pas l'existence d'un nombre précis de racines positives.

Tension sémantique

S'oppose aux méthodes de comptage exact comme le théorème de Sturm : la règle de Descartes est combinatoire et rapide mais imprécise, tandis que les méthodes exactes donnent un compte précis à un coût algorithmique plus élevé.

Synthèse

La règle des signes de Descartes est un outil diagnostique combinatoire : en comptant les changements de signe parmi les coefficients non nuls ordonnés, elle fournit une borne immédiate et une contrainte de parité sur le nombre de racines réelles positives, utile avant d'appliquer des méthodes plus précises.