Una técnica que proporciona una cota superior y una restricción de paridad para el número de raíces reales positivas de un polinomio con coeficientes reales contando los cambios de signo en la secuencia ordenada de sus coeficientes no nulos cuando el polinomio se escribe por potencias decrecientes.

Principio

El número de raíces reales positivas (contadas con multiplicidad) es como máximo el número de cambios de signo entre coeficientes consecutivos no nulos, y difiere de ese número por un entero par no negativo.

Demostración

Para f(x)=x^4−3x^3+2x^2−5x+1 los signos de los coeficientes son +,−,+,−,+ con cuatro cambios de signo, por lo que f tiene a lo sumo cuatro raíces reales positivas; los conteos posibles según la regla son 4, 2 o 0. Para las raíces negativas se aplica la regla a f(−x).

Aplicación incorrecta

Aplicar la regla sin ignorar coeficientes nulos intermedios, tomar la cota como recuento exacto en presencia de multiplicidades mayores que uno, o usarla para contar raíces complejas no reales.

Consecuencia

Ofrece una cota rápida y una restricción útil para la localización de raíces y para orientar métodos numéricos; limita las posibilidades antes de emplear métodos de recuento exacto como las secuencias de Sturm.

Inversión

Para considerar raíces negativas se evalúa f(−x) y se cuentan los cambios de signo allí; para obtener todas las raíces reales se combina el conteo de positivas y negativas y se comprueba por separado la raíz en cero.

Límite

Se aplica solo a polinomios con coeficientes reales en forma estándar; no determina multiplicidades con precisión, no cuenta raíces complejas no reales y solo da una cota superior y una restricción de paridad, no la existencia de un número concreto de raíces positivas.

Tensión semántica

Contrasta con métodos exactos como el teorema de Sturm: la regla de Descartes es combinatoria y rápida pero imprecisa, mientras que las técnicas exactas proporcionan conteos precisos con mayor coste computacional.

Síntesis

La regla de los signos de Descartes es una herramienta diagnóstica combinatoria: al contar los cambios de signo entre coeficientes no nulos ordenados da una cota inmediata y una restricción de paridad sobre el número de raíces reales positivas, útil antes de aplicar métodos más precisos.