Énoncé de la théorie des nombres affirmant que si un nombre premier p divise le produit ab de deux entiers a et b, alors p divise a ou p divise b.

Principe

Les nombres premiers sont indivisibles en termes de divisibilité : un diviseur premier d'un produit doit déjà diviser au moins un des facteurs, principe organisateur des raisonnements sur la divisibilité et la factorisation.

Démonstration

Exemple : p = 3 et 3 divise 9·4 = 36 ; comme 3 divise 9, le lemme est vérifié. De façon plus structurelle, si p divise ab et p ne divise pas a alors pgcd(a,p)=1 et l'existence d'entiers x,y tels que ax+py=1, multipliée par b, conduit à p divise b.

Mauvaise application

Appliquer l'énoncé en prenant p composite : pour un entier composite c divisant ab il est faux en général que c divise a ou b ; employer le lemme dans des anneaux dépourvus de notion appropriée de premier ou de pgcd sans vérifier les hypothèses.

Conséquence

Constitue une étape clé pour démontrer l'unicité de la factorisation dans les entiers et permet de passer de la divisibilité d'un produit à la divisibilité d'un facteur, facilitant des preuves inductives reposant sur les nombres premiers.

Inversion

La converse triviale est que si p divise a alors p divise ab ; le contraste signifiant est que remplacer « premier » par « composé » détruit l'énoncé, d'où l'apparition de contre‑exemples lorsque l'on inverse la propriété.

Limite

S'applique aux éléments premiers dans les domaines intègres munis d'une notion adéquate de primalité ; il est formulé de façon la plus simple pour les nombres premiers entiers de Z. Il ne tient pas automatiquement dans des anneaux où les irréductibles ne sont pas premiers.

Tension sémantique

Tension entre « premier » et « irréductible » : dans certains anneaux, des éléments irréductibles ne satisfont pas le lemme, ce qui fait la différence entre éléments premiers (imposant la divisibilité des facteurs) et simples irréductibles.

Synthèse

Le lemme d'Euclide exprime la propriété essentielle des éléments premiers : lorsqu'un premier divise un produit, la divisibilité se localise à un facteur, mécanisme central pour l'unicité de la factorisation et pour transférer une information sur un produit vers ses facteurs.