La afirmación de la teoría elemental de números que dice que si un primo p divide el producto ab de dos enteros a y b, entonces p divide a o p divide b.

Principio

Los primos son indecomponibles respecto a la divisibilidad: un divisor primo de un producto debe ya dividir a al menos uno de los factores, principio que organiza muchos argumentos sobre divisibilidad y factorización.

Demostración

Ejemplo: p = 3 y 3 divide 9·4 = 36; como 3 divide 9, el lema se verifica. Estructuralmente, si p divide ab y p no divide a, entonces mcd(a,p)=1 y existen enteros x,y con ax+py=1; multiplicando por b se deduce que p divide b.

Aplicación incorrecta

Aplicarlo tomando p compuesto: para un entero compuesto c que divide ab no es cierto en general que c divida a o b; usar el lema en anillos sin la noción adecuada de primo o mcd sin comprobar hipótesis.

Consecuencia

Constituye un paso clave para demostrar la unicidad de la factorización en los enteros y permite pasar de la divisibilidad de un producto a la divisibilidad de un factor, facilitando demostraciones inductivas basadas en primos.

Inversión

La conversión trivial es que si p divide a entonces p divide ab; el contraste significativo es que reemplazar 'primo' por 'compuesto' invalida la afirmación, produciendo contraejemplos.

Límite

Se aplica a elementos primos en dominios íntegros con una noción apropiada de primalidad; se enuncia más sencillamente para primos enteros en Z. No se cumple automáticamente en anillos donde los irreducibles no son primos.

Tensión semántica

Tensión entre 'primo' e 'irreducible': en algunos anillos los irreducibles no satisfacen el lema, lo que distingue elementos primos (que imponen divisibilidad en factores) de meros irreducibles.

Síntesis

El lema de Euclides captura la propiedad esencial de los elementos primos: cuando un primo divide un producto, esa divisibilidad se localiza en un factor, mecanismo central para la unicidad de la factorización y para transferir información de producto a factores.