Propriété d'une opération binaire indiquant que pour un élément fixé a, si x · a = y · a alors x = y ; lorsqu'elle vaut pour tout a dans un ensemble donné, la structure est dite vérifier l'annulation à droite pour ces éléments.

Principe

La multiplication à droite par un élément annulable est injective : l'application x ↦ x · a préserve la distinction, donc une égalité après multiplication à droite implique l'égalité précédente lorsque l'annulation à droite tient.

Démonstration

Dans un groupe, tout élément est annullable à droite puisque x·a = y·a entraîne x = y après multiplication à droite par a^{-1}. Dans la multiplication de matrices sur un corps, l'annulation à droite vaut si le facteur droit est inversible mais échoue si ce facteur est singulier.

Mauvaise application

Supposer l'annulation à droite dans des semi-groupes ou anneaux avec diviseurs de zéro ; confondre annulation à droite et à gauche ou appliquer l'annulation à droite à un facteur non inversible dans des contextes où l'inversibilité est requise.

Conséquence

L'annulation à droite permet d'ôter un facteur commun à droite d'une équation, facilitant la résolution d'équations, la preuve d'unicité et l'analyse d'actions et d'homomorphismes à droite.

Inversion

Le phénomène inverse est la non-annulation à droite, où x·a = y·a avec x ≠ y ; cela signale une non-injectivité de la multiplication à droite et révèle souvent des diviseurs de zéro ou des éléments singuliers qui empêchent de résoudre les équations.

Limite

S'applique dans les groupes, monoïdes ayant des éléments annulables et des contextes où les facteurs droits peuvent être inversibles ; ne vaut pas en général dans les semi-anneaux, anneaux avec diviseurs de zéro ou pour des matrices singulières sur un anneau.

Tension sémantique

Tension entre la cancellativité à droite locale (pour un a donné) et la cancellativité globale, et entre la cancellativité résultant de l'inversibilité et la cancellativité supposée axiomaticement ; aussi tension entre la latéralité de la cancellation et des attentes de symétrie.

Synthèse

La loi d'annulation à droite formalise que la multiplication à droite par certains éléments est injective ; lorsqu'elle est présente, elle permet de supprimer des facteurs communs à droite pour en déduire l'égalité des facteurs restants et simplifier le raisonnement algébrique.