Propriété d'une opération binaire sur une structure algébrique indiquant que pour un élément fixé a, si a · x = a · y alors x = y ; lorsque cela vaut pour tout a dans un sous-ensemble donné, on dit que l'annulation à gauche y est vérifiée.

Principe

La multiplication à gauche par un élément annulable est injective : l'application x ↦ a · x préserve la distinction des éléments, donc une égalité après multiplication à gauche implique l'égalité préalable lorsque l'annulation à gauche tient.

Démonstration

Dans un groupe (G, ·) tout élément est annulable : si a·x = a·y alors multiplier à gauche par a^{-1} donne x = y. Dans les entiers positifs pour l'addition l'annulation à gauche vaut aussi car a + x = a + y implique x = y.

Mauvaise application

Supposer l'annulation à gauche dans des structures où elle échoue, comme certains semi-groupes avec diviseurs de zéro ou monoïdes avec idempotents où a·x = a·y n'entraîne pas forcément x = y ; confondre annulation à gauche et à droite sans vérifier le côté concerné.

Conséquence

Quand l'annulation à gauche vaut, on peut simplifier des équations en ôtant un facteur commun à gauche, ce qui facilite la résolution d'équations, la preuve d'unicité et le raisonnement sur des actions injectives à gauche.

Inversion

La notion inverse est la non-annulation à gauche : avoir a·x = a·y avec x ≠ y, ce qui indique la présence de diviseurs de zéro, d'identifications ou la perte d'injectivité de la multiplication à gauche et complique la résolution d'équations.

Limite

S'applique aux opérations binaires où la multiplication à gauche a un sens ; ne vaut pas en général dans les semi-groupes, anneaux avec diviseurs de zéro ou semi-groupes à gauche-nul à moins d'imposer des axiomes additionnels d'annulation.

Tension sémantique

Tension entre le comportement annulatif local (pour un élément donné a) et la cancellativité globale (pour tous les éléments non nuls ou pour tous les éléments) ; tension aussi entre l'annulation comme axiome algébrique et l'annulation résultant de l'inversibilité.

Synthèse

La loi d'annulation à gauche exprime que la multiplication à gauche par certains éléments est injective ; lorsqu'elle est satisfaite, elle permet d'enlever un facteur commun à gauche pour déduire l'égalité des facteurs restants et simplifie le raisonnement algébrique.