Una propiedad de una operación binaria en una estructura algebraica que dice: para un elemento fijo a, si a · x = a · y entonces x = y; cuando esto se cumple para todo a en un subconjunto dado, se dice que existe cancelación por la izquierda.

Principio

La multiplicación a la izquierda por un elemento cancelativo es inyectiva: la aplicación x ↦ a · x preserva la distinción, por lo que la igualdad tras la multiplicación a la izquierda implica la igualdad previa cuando existe cancelación por la izquierda.

Demostración

En un grupo (G, ·) todo elemento es cancelativo: si a·x = a·y entonces multiplicando a la izquierda por a^{-1} se obtiene x = y. En los enteros positivos con la suma, la cancelación por la izquierda también vale porque a + x = a + y implica x = y.

Aplicación incorrecta

Asumir cancelación por la izquierda en estructuras donde falla, como semigrupos con divisores de cero o monoides con idempotentes donde a·x = a·y no obliga a x = y; también confundir cancelación izquierda con derecha sin comprobar el lado.

Consecuencia

Cuando existe cancelación por la izquierda, se pueden simplificar ecuaciones quitando un factor común por la izquierda, lo que facilita resolver ecuaciones, probar unicidad y razonar sobre acciones inyectivas a la izquierda.

Inversión

La inversión es la no cancelación por la izquierda: tener a·x = a·y con x ≠ y, lo que indica divisores de cero, identificaciones o pérdida de inyectividad en la multiplicación izquierda y complica la resolución de ecuaciones.

Límite

Se aplica a operaciones binarias donde la multiplicación por la izquierda tiene sentido; no es válida en general en semigrupos, anillos con divisores de cero o semigrupos con cero a la izquierda salvo que se impongan axiomas adicionales de cancelación.

Tensión semántica

Tensión entre el comportamiento cancelativo local (para un elemento concreto a) y la cancelatividad global (para todos los elementos no nulos o para todos los elementos); otra tensión entre la cancelación como axioma y la cancelación derivada de la invertibilidad.

Síntesis

La Ley de Cancelación por la Izquierda expresa que la multiplicación a la izquierda por ciertos elementos es inyectiva; donde existe, permite eliminar factores comunes a la izquierda para deducir la igualdad de los factores restantes y facilita el razonamiento algebraico.