Deux règles algébriques qui décrivent comment la complémentation (la négation logique ou le complément d'ensemble) se distribue sur les opérations binaires réunion et intersection (ou OU et ET) : le complément d'une réunion est l'intersection des compléments, et le complément d'une intersection est la réunion des compléments.

Principe

La négation ou la complémentation inverse l'opération binaire : complément(A ∪ B) = complément(A) ∩ complément(B) et complément(A ∩ B) = complément(A) ∪ complément(B) ; ce renversement structurel s'applique dans les algèbres de Boole et la logique propositionnelle entre OU et ET sous négation.

Démonstration

En théorie des ensembles, si A = {1,2} et B = {2,3} dans l'univers U = {1,2,3,4}, alors (A ∪ B)^c = {4} tandis que A^c ∩ B^c = {4} ; en logique propositionnelle, ¬(P ∨ Q) est équivalent à (¬P ∧ ¬Q) et une table de vérité montre l'identité des lignes correspondantes.

Mauvaise application

Appliquer les lois sans compléments définis (par exemple dans une structure dépourvue de complément), omettre d'inverser les opérations (écrire complément(A ∪ B) = complément(A) ∪ complément(B)), ou traiter l'implication ou les quantificateurs de la même façon sans transformation préalable en formes appropriées.

Conséquence

Elles permettent de réécrire systématiquement les compléments en formes plus simples pour les démonstrations, la conception de circuits ou les manipulations algébriques ; elles soutiennent aussi la conversion en formes normales et la minimisation en algèbre de Boole.

Inversion

L'idée inversée consisterait à distribuer le complément sans changer l'opération binaire (p. ex. prétendre que complément(A ∪ B) = complément(A) ∪ complément(B)) ; cette inversion rompt l'équivalence et donne une expression incorrecte.

Limite

Valables dans les algèbres de Boole, les algèbres de parties et la logique propositionnelle classique ; peuvent échouer ou devoir être modifiées dans les logiques non classiques (intuitionniste, paraconsistante) et dans des structures algébriques sans complément ou avec des négations non classiques (floues, multivaluées).

Tension sémantique

Tension entre considérer les lois comme des règles purement syntaxiques de réécriture et comme des équivalences sémantiques portant sur les conditions de vérité ; tension aussi entre la négation classique, où les lois tiennent exactement, et des négations affaiblies qui modifient une ou deux directions.

Synthèse

Les lois de Morgan relient complément et opérations binaires en affirmant que la complémentation transforme réunion en intersection et réciproquement ; ce sont des équivalences algébriques utiles pour réécrire et simplifier en théorie des ensembles, algèbre de Boole et logique propositionnelle.