Zwei algebraische Regeln, die beschreiben, wie Komplementbildung (logische Negation oder Mengenergänzung) über die binären Operationen Vereinigung und Durchschnitt (bzw. ODER und UND) verteilt: das Komplement der Vereinigung ist der Durchschnitt der Komplemente, und das Komplement des Durchschnitts ist die Vereinigung der Komplemente.

Prinzip

Negation oder Komplement kehrt die Art der binären Verknüpfung um: ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y und ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y; diese strukturelle Umkehr gilt in booleschen Algebren und der Aussagenlogik zwischen ODER und UND unter Negation.

Demonstration

In der Mengenlehre: Für A = {1,2}, B = {2,3} in der Grundmenge U = {1,2,3,4} gilt (A ∪ B)^c = {4} und A^c ∩ B^c = {4}. In der Aussagenlogik stimmen die Wahrheitswerte von ¬(P ∨ Q) und (¬P ∧ ¬Q) für alle Belegungen überein, was eine Wahrheitstabelle zeigt.

Fehlanwendung

Die Gesetze anwenden, obwohl kein wohldefiniertes Komplement existiert (z. B. in Strukturen ohne Komplement), das Vertauschen der Operationen vergessen (behaupten, ¬(x ∨ y) = ¬x ∨ ¬y) oder Implikation und Quantoren ohne geeignete Umformung ebenso behandeln.

Konsequenz

Sie erlauben systematische Umformungen von Komplementen zur Vereinfachung von Beweisen, Schaltkreisentwürfen oder algebraischen Umformungen; sie sind Grundlage für Normalformumwandlungen und Minimierung in der booleschen Algebra.

Umkehrung

Die Umkehr wäre, Komplement zu verteilen und dabei die Operation beizubehalten (z. B. zu behaupten, (x ∪ y)^c = x^c ∪ y^c); diese Umkehr zerstört die Äquivalenz und führt zu falschen Ausdrücken.

Abgrenzung

Gültig in booleschen Algebren, Potenzmengenalgebren und klassischer Aussagenlogik; sie können in nichtklassischen Logiken (intuitionistisch, parakonsistent) oder in algebraischen Strukturen ohne Komplement bzw. mit nichtklassischen Negationen (fuzzy, mehrwertig) versagen oder angepasst werden müssen.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der Auffassung der Gesetze als rein syntaktische Umformungsregeln und als semantische Äquivalenzen bezüglich Wahrheitsbedingungen; außerdem Spannung zwischen klassischer Negation, bei der die Gesetze exakt gelten, und abgeschwächten Negationen, die Richtung(en) verändern können.

Synthese

De Morgansche Gesetze vereinigen Komplement und binäre Operationen durch die Aussage, dass Komplementbildung Vereinigung in Durchschnitt und umgekehrt verwandelt; diese einfachen algebraischen Äquivalenzen werden breit in Mengenlehre, boolescher Algebra und Aussagenlogik zur Umformung und Vereinfachung verwendet.