Relation entre deux opérations binaires indiquant que l'une distribue sur l'autre, typiquement écrite a·(b + c) = a·b + a·c (distributivité à gauche) et (b + c)·a = b·a + c·a (à droite) lorsque les deux tiennent.

Principe

La distributivité relie deux opérations de sorte que l'application de l'une après la combinaison par l'autre équivaut à la combinaison de la première appliquée à chaque argument ; elle exprime la compatibilité entre opérations.

Démonstration

Dans un anneau, la multiplication distribue sur l'addition : 2·(3+4) = 2·3 + 2·4. La multiplication matricielle distribue sur l'addition matricielle : A(B+C) = AB + AC. En algèbre booléenne, ∧ distribue sur ∨ et réciproquement.

Mauvaise application

Supposer que l'exponentiation distribue sur l'addition et écrire (a+b)^n = a^n + b^n, ou supposer que la distributivité gauche et droite sont équivalentes dans un contexte non commutatif sans vérification, sont des erreurs fréquentes.

Conséquence

La distributivité permet les règles de développement et de factorisation, sous-tend l'arithmétique des polynômes et la théorie des anneaux, et rend une opération linéaire sur les combinaisons formées par l'autre, facilitant la manipulation algébrique et la simplification algorithmique.

Inversion

Quand la distributivité fait défaut, les produits ne peuvent pas être développés sur les sommes ; certaines structures algébriques n'ont pas de distributivité (ou seulement à sens unique), ce qui engendre des identités plus complexes et empêche les factorisations standard.

Limite

Exige deux opérations bien définies sur le même ensemble et la précision de la distributivité à gauche ou à droite dans les contextes non commutatifs ; la distributivité n'est pas déduite de l'associativité ou de la commutativité seules.

Tension sémantique

Souvent confondue avec la linéarité : la distributivité sur une addition est partie intégrante de la linéarité, mais les applications linéaires exigent aussi la compatibilité avec les scalaires et l'additivité pour tous les scalaires ; la distributivité entre deux opérations est une condition de compatibilité algébrique plus faible.

Synthèse

La Loi de Distributivité formalise une règle de compatibilité entre deux opérations sur un même ensemble : appliquer l'une sur une combinaison faite par l'autre revient à la combinaison correspondante de ses applications séparées, permettant développement, factorisation et une structure algébrique cohérente.