Eine Beziehung zwischen zwei binären Operationen, die zeigt, dass eine Operation über die andere verteilt (distributiv) wird, üblicherweise geschrieben als a·(b + c) = a·b + a·c (linksdistributiv) und (b + c)·a = b·a + c·a (rechtsdistributiv), wenn beide gelten.

Prinzip

Distributivität verbindet zwei Operationen so, dass die Anwendung der einen nach der Kombination durch die andere dem entspricht, was man erhält, wenn man die erste auf jeden Summanden anwendet; sie drückt Kompatibilität zwischen Operationen aus.

Demonstration

In einem Ring verteilt sich die Multiplikation über die Addition: 2·(3+4) = 2·3 + 2·4. Matrizenmultiplikation ist über Matrizenaddition distributiv: A(B+C) = AB + AC. In der booleschen Algebra verteilt ∧ sich über ∨ und umgekehrt.

Fehlanwendung

Zu glauben, Potenzieren verteile sich über Addition und (a+b)^n = a^n + b^n schreiben zu können, oder in einem nichtkommutativen Kontext links- und rechtsdistributiv gleichzusetzen, sind häufige Fehler.

Konsequenz

Distributivität ermöglicht Ausmultiplizieren und Faktorisieren, bildet die Grundlage der Polynomrechnung und der Ringtheorie und erlaubt, dass eine Operation linear über Kombinationen wirkt, was algebraische Manipulation und algorithmische Vereinfachung erleichtert.

Umkehrung

Fehlt die Distributivität, können Produkte nicht über Summen ausmultipliziert werden; manche algebraischen Strukturen besitzen keine Distributivität (oder nur einseitige), was zu komplexeren Identitäten und dem Fehlen üblicher Faktorisierungen führt.

Abgrenzung

Erfordert zwei wohldefinierte Operationen auf derselben Menge und die genaue Angabe von Links- oder Rechtsdistributivität im nichtkommutativen Fall; Distributivität folgt nicht aus Assoziativität oder Kommutativität allein.

Semantische Spannung

Wird oft mit Linearität verwechselt: Distributivität über eine Addition ist Teil der Linearität, aber lineare Abbildungen erfordern zusätzlich Verträglichkeit mit Skalaren und Additivität für alle Skalare; Distributivität zwischen zwei Operationen ist eine schwächere algebraische Verträglichkeitsbedingung.

Synthese

Das Distributivgesetz formt eine Verträglichkeitsbedingung zwischen zwei Operationen auf derselben Menge: Die Anwendung der einen über eine Kombination durch die andere entspricht der entsprechenden Kombination ihrer getrennten Anwendungen und erlaubt Ausmultiplizieren, Faktorisieren und kohärente algebraische Strukturen.