Le plus grand entier n (ou l'infini) pour lequel la cohomologie à coefficients spécifiés peut être non nulle ; appliquée aux espaces, groupes ou schémas, elle mesure la complexité topologique ou algébrique détectable par la cohomologie.

Principe

La dimension cohomologique est régie par l'annulation des groupes de cohomologie : un objet a dimension cohomologique ≤ n relativement aux coefficients choisis exactement lorsque tous les groupes de cohomologie en degrés > n s'annulent pour ces coefficients.

Démonstration

Pour une sphère topologique S^n, la cohomologie singulière à coefficients dans un corps est non nulle en degrés 0 et n, donc la dimension cohomologique vaut n. Pour un groupe profini G, les calculs de cohomologie de groupe déterminent la dimension cohomologique de G par l'annulation en haut degrés.

Mauvaise application

Prétendre que la dimension cohomologique est indépendante des coefficients sans préciser l'anneau ou le faisceau de coefficients ; ou confondre dimension cohomologique et dimension d'homotopie sans vérifier les hypothèses homotopiques requises.

Conséquence

La finitude de la dimension cohomologique entraîne de fortes annulations et contrôle la théorie des obstructions et des problèmes d'extensions ; elle impose souvent des bornes sur le comportement homologique des morphismes et sur les fibrations ou torseurs possibles.

Inversion

La vue duale est homologique (dimension homologique) : au lieu d'examiner les groupes de cohomologie et Ext, on étudie l'homologie et Tor ; inverser le point de vue peut changer les énoncés d'annulation naturels.

Limite

Dépend du choix des coefficients (anneaux, faisceaux, systèmes locaux) et de la catégorie considérée (espaces topologiques, groupes, schémas). Pour les schémas il faut préciser la cohomologie étale, Zariski ou autre ; hors de ces cadres l'invariant peut manquer de précision.

Tension sémantique

La tension se manifeste entre dimension cohomologique et invariants numériques comme les nombres de Betti : ces derniers comptent les rangs en degrés particuliers tandis que la dimension cohomologique enregistre le degré maximal non nul. Il existe aussi une tension avec les dimensions homotopiques et celles de la géométrie algébrique.

Synthèse

La dimension cohomologique est le degré maximal où la cohomologie à coefficients choisis peut être non nulle ; c'est un seuil d'annulation qui résume la complexité cohomologique supérieure d'un espace, groupe ou schéma pour ces coefficients.