El mayor entero n (o infinito) tal que la cohomología con coeficientes especificados puede ser no nula; aplicada a espacios, grupos o esquemas, mide la complejidad topológica o algebraica detectable por la cohomología.

Principio

La dimensión cohomológica se rige por la anulación de grupos de cohomología: un objeto tiene dimensión cohomológica ≤ n respecto de coeficientes elegidos exactamente cuando todos los grupos de cohomología en grados > n se anulan para esos coeficientes.

Demostración

Para una esfera topológica S^n, la cohomología singular con coeficientes en un cuerpo es no nula en grados 0 y n, por lo que la dimensión cohomológica es n. Para un grupo profinito G, los cálculos de cohomología de grupos determinan la dimensión cohomológica de G mediante la anulación en grados altos.

Aplicación incorrecta

Afirmar una dimensión cohomológica independiente de los coeficientes sin especificar el anillo o el haz de coeficientes; o equiparar dimensión cohomológica con dimensión homotópica sin verificar hipótesis homotópicas pertinentes.

Consecuencia

Una dimensión cohomológica finita produce potentes resultados de anulación y controla teoría de obstrucciones y problemas de extensión; con frecuencia implica cotas sobre el comportamiento homológico de aplicaciones y sobre fibraciones o torcedores posibles.

Inversión

La perspectiva dual es homológica (dimensión homológica): en lugar de estudiar grupos de cohomología y Ext, se examina homología y Tor; invertir el enfoque puede cambiar qué afirmaciones de anulación son naturales.

Límite

Depende de la elección de coeficientes (anillos, haces, sistemas locales) y de la categoría considerada (espacios topológicos, grupos, esquemas). Para esquemas hay que precisar si se usa cohomología etale, Zariski u otra; fuera de esos marcos el invariante puede no estar bien planteado.

Tensión semántica

La tensión aparece entre la dimensión cohomológica y invariantes numéricos como los números de Betti: estos últimos cuentan rangos en grados concretos mientras la dimensión cohomológica registra el grado máximo no nulo. También hay tensión con dimensiones homotópicas y con nociones de dimensión en geometría algebraica.

Síntesis

La dimensión cohomológica es el grado máximo en que la cohomología con coeficientes dados puede ser no nula; es un umbral de anulación que sintetiza la complejidad cohomológica superior de un espacio, grupo o esquema para esos coeficientes.