Le plus petit entier n≥0 (ou l'infini) tel qu'un objet admette une résolution injective de longueur n ; autrement dit, la longueur minimale d'une suite d'objets injectifs résolvant l'objet, mesurant son éloignement à l'injectivité.

Principe

La dimension injective est gouvernée par l'existence de résolutions injectives : un objet a dimension injective ≤ n exactement lorsque Ext^{i}(-, objet) s'annule pour tout i>n vis‑à‑vis de tous les objets tests, faisant de l'annulation des Ext de haut degré le critère organisateur.

Démonstration

Pour un module M sur un anneau noethérien R, on construit une résolution injective 0→M→I^0→I^1→… ; si cette suite s'arrête en I^n (I^i=0 pour i>n), alors dim_inj(M)=n. Par exemple, sur un corps k, tout espace vectoriel de dimension finie est injectif, donc sa dimension injective est 0.

Mauvaise application

Confondre dimension injective et longueur d'une résolution projective, ou remplacer sans justification les résolutions injectives par des résolutions projectives ; ou supposer la finitude de la dimension injective à partir de celle de la dimension projective sans vérifier des dualités de catégorie.

Conséquence

Une dimension injective finie entraîne des annulations précises des groupes Ext, simplifie le calcul des foncteurs dérivés et interagit souvent avec la profondeur et la régularité de l'anneau ou de la catégorie ambiante.

Inversion

La notion duale est la dimension projective : tandis que la dimension injective mesure l'écart à l'injectivité, la dimension projective mesure l'écart à la projectivité ; inverser les flèches échange les types de résolutions et les groupes Ext/Tor qui contrôlent l'invariant.

Limite

Définie dans des catégories abéliennes munies d'assez d'injectifs ou dans un cadre dérivé ; les résolutions injectives minimales exigent des hypothèses (par ex. noethériennes) pour exister et être uniques à isomorphisme près. Sans injectifs ou remplacements dérivés, la notion perd de son sens.

Tension sémantique

La dimension injective peut être confondue avec la dimension projective ou la profondeur homologique ; la tension s'exprime entre résolutions duales (injective vs projective) et entre l'annulation des Ext et celle des Tor.

Synthèse

La dimension injective est la longueur minimale d'une résolution injective d'un objet ; détectée par l'annulation des Ext en haut degré, elle offre une mesure homologique duale à la dimension projective lorsque des résolutions injectives existent.