El menor entero n≥0 (o infinito) tal que un objeto admite una resolución inyectiva de longitud n; equivalentemente, la longitud mínima de una cadena de objetos inyectivos que resuelve el objeto, midiendo su distancia a ser inyectivo.

Principio

La dimensión inyectiva se organiza por la existencia de resoluciones inyectivas: un objeto tiene dimensión inyectiva ≤ n exactamente cuando Ext^{i}(-, objeto) se anula para todo i>n frente a todos los objetos de prueba; la anulación de Ext en grados altos controla la noción.

Demostración

Para un módulo M sobre un anillo noetheriano R se construye una resolución inyectiva 0→M→I^0→I^1→…; si esta secuencia acaba en I^n (I^i=0 para i>n), entonces dim_iny(M)=n. Por ejemplo, sobre un cuerpo k, todo espacio vectorial de dimensión finita es inyectivo, así que su dimensión inyectiva es 0.

Aplicación incorrecta

Tratar la dimensión inyectiva como la longitud de una resolución proyectiva o sustituir resoluciones inyectivas por proyectivas sin dualizar; o asumir la finitud de la dimensión inyectiva a partir de la finitud de la dimensión proyectiva sin comprobar dualidades de la categoría.

Consecuencia

Una dimensión inyectiva finita implica patrones de anulación concretos para Ext, simplifica cálculos de funtores derivados y suele relacionarse con la profundidad y la regularidad del anillo o de la categoría ambiente.

Inversión

La noción dual es la dimensión proyectiva: mientras la dimensión inyectiva mide el alejamiento de la inyectividad, la dimensión proyectiva mide el alejamiento de la proyectividad; invertir las flechas intercambia las resoluciones y los grupos Ext/Tor que controlan la invariante.

Límite

Se define en categorías abelianas con suficientes inyectivos o en contextos derivados; las resoluciones inyectivas mínimas requieren hipótesis (p. ej. noetherianas) para existir y ser únicas a isomorfismo. Sin inyectivos o reemplazos derivados la noción carece de sentido práctico.

Tensión semántica

La dimensión inyectiva suele confundirse con la dimensión proyectiva o con la profundidad homológica; la tensión está entre resoluciones duales (inyectiva vs proyectiva) y entre la anulación de Ext y la de Tor.

Síntesis

La dimensión inyectiva es la longitud mínima de una resolución inyectiva de un objeto; detectada por la anulación de Ext en grados altos, constituye una medida homológica dual a la dimensión proyectiva cuando hay resoluciones inyectivas disponibles.