Un invariant d'un module (ou d'un anneau local) défini comme la longueur d'une suite régulière maximale contenue dans un idéal donné ou la longueur maximale de suites d'éléments non-diviseurs de zéro ; il mesure la non-dégénérescence des relations.

Principe

La profondeur compte combien d'éléments successifs agissent comme non-diviseurs de zéro sur un module ; une suite régulière de longueur d indique que le module résiste à certaines dégénérescences jusqu'à d étapes.

Démonstration

Pour un anneau local noethérien R et un module M de type fini, si existe une suite x1,...,xr d'éléments de l'idéal maximal qui sont des non-diviseurs de zéro sur les quotients successifs, alors profondeur(M) ≥ r, et l'égalité tient lorsque la suite est maximale.

Mauvaise application

Interpréter la profondeur comme codimension ou comme dimension de Krull sans précaution est erroné ; profondeur et dimension sont reliées par des inégalités mais sont des invariants distincts pouvant diverger notamment en cas pathologique.

Conséquence

La profondeur gouverne des propriétés homologiques : elle apparaît dans la formule d'Auslander–Buchsbaum et caractérise la propriété de Cohen–Macaulay lorsque la profondeur égale la dimension de Krull, entraînant des annulations favorables de cohomologie locale.

Inversion

Inverser la notion revient à se focaliser sur la présence de diviseurs de zéro : au lieu de compter les non-diviseurs de zéro, on mesurerait à quel stade apparaissent des diviseurs de zéro, fournissant une information d'obstruction complémentaire.

Limite

Définie principalement pour les modules sur anneaux commutatifs noethériens et les anneaux locaux ; en contexte non-noethérien ou non-commutatif, la profondeur peut être indéfinie ou exiger des définitions adaptées.

Tension sémantique

La profondeur est en tension avec la dimension et la dimension projective : alors que la dimension mesure la taille des chaînes de premiers, la profondeur mesure la résistance aux diviseurs de zéro ; leur interaction est centrale et parfois paradoxale.

Synthèse

La profondeur est la mesure homologique du nombre d'étapes non-diviseurs de zéro qu'un module admet ; combinée à la dimension de Krull, elle indique des propriétés de régularité et classe des modules tels que les Cohen–Macaulay.