Definición
Un invariante de un módulo (o anillo local) dada por la longitud de una secuencia regular máxima contenida en un ideal dado o la longitud máxima de secuencias de no divisores de cero; mide la no degeneración de las relaciones.
Principio
Principio
La profundidad cuenta cuántos elementos sucesivos actúan como no divisores de cero sobre un módulo; una secuencia regular de longitud d indica que el módulo resiste ciertas degeneraciones hasta d pasos.
Demostración
Demostración
Para un anillo local noetheriano R y un módulo M finitamente generado, si existe una secuencia x1,...,xr de elementos del ideal maximal que son no divisores de cero en los cocientes sucesivos, entonces depth(M) ≥ r, y hay igualdad cuando la secuencia es máxima.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Interpretar profundidad como codimensión o dimensión de Krull sin matices es erróneo; profundidad y dimensión están relacionadas por desigualdades pero son invariantes distintos que pueden diferir notablemente en casos patológicos.
Consecuencia
Consecuencia
La profundidad controla propiedades homológicas: aparece en la fórmula de Auslander–Buchsbaum y determina la condición de Cohen–Macaulay cuando la profundidad iguala la dimensión de Krull, implicando anulaciones favorables de cohomología local.
Inversión
Inversión
Invertir la noción implica centrarse en la presencia de divisores de cero: en lugar de contar no divisores de cero, se mediría cuán pronto aparecen divisores de cero, proporcionando información complementaria sobre obstrucciones.
Límite
Límite
Definida principalmente para módulos sobre anillos conmutativos noetherianos y anillos locales; en contextos no noetherianos o no conmutativos la profundidad puede ser indefinida o requerir definiciones modificadas.
Tensión semántica
Tensión semántica
La profundidad compite con la dimensión y la dimensión proyectiva: mientras la dimensión mide el tamaño de cadenas de primos, la profundidad mide la resistencia a divisores de cero; su interacción es central y a veces paradójica.
Síntesis
Síntesis
La profundidad es la medida homológica de cuántos pasos de no divisores de cero admite un módulo; combinada con la dimensión de Krull indica propiedades de regularidad y clasifica módulos como los Cohen–Macaulay.