Mesure numérique de la sensibilité de la sortie d’une fonction ou de la solution d’un système linéaire à de petites perturbations relatives de l’entrée ; pour une matrice inversible et une norme donnée c’est généralement ||A||·||A^{-1}||, et sous la norme spectrale c’est le rapport de la plus grande à la plus petite valeur singulière.

Principe

Le nombre de condition quantifie l’amplification relative maximale possible d’une erreur d’entrée en erreur de sortie pour le problème et la norme spécifiés ; il dissocie le conditionnement intrinsèque du problème de la stabilité algorithmique et dépend à la fois de l’opérateur et du choix de norme.

Démonstration

Pour la matrice diagonale 2×2 diag(100,1) sous la norme spectrale le nombre de condition est 100/1=100, ce qui signifie qu’une perturbation relative de 1% sur l’entrée peut causer jusqu’à ~100% de variation relative sur la solution. Pour une matrice singulière le nombre de condition est infini, signalant l’absence d’inverse stable.

Mauvaise application

Omettre de préciser la norme lors de la citation d’un nombre de condition, ou confondre un grand nombre de condition avec l’échec algorithmique sans tenir compte du solveur. Utiliser le nombre de condition en norme 2 pour prévoir des erreurs d’un algorithme dont la stabilité est gouvernée par une autre norme induit des conclusions erronées.

Conséquence

Un grand nombre de condition indique un mauvais conditionnement : les solutions sont très sensibles et exigent régularisation, précision accrue ou reformulation ; un nombre proche de 1 indique un problème bien conditionné où les erreurs avant et après restent proportionnelles.

Inversion

Interpréter un faible nombre de condition comme une garantie d’exactitude du résultat calculé indépendamment du comportement algorithmique ; la réciproque est qu’un bon conditionnement n’exempte pas d’employer des algorithmes numériquement stables.

Limite

Défini relativement à une norme et à un problème donné (inversion matricielle, résolution linéaire). Pour les problèmes non linéaires un nombre de condition local s’obtient via le jacobien ; pour les opérateurs non inversibles le nombre de condition classique est infini et doit être remplacé par des mesures conditionnelles sur sous-espaces ou des variantes régularisées.

Tension sémantique

Tension entre conditionnement du problème (sensibilité intrinsèque mesurée par le nombre de condition) et stabilité numérique (amplification algorithmique des erreurs) : un problème bien conditionné peut être mal résolu et un problème mal conditionné peut être traité par régularisation ou algorithmes stabilisés.

Synthèse

Le nombre de condition est un scalaire dépendant de la norme qui mesure l’amplification relative maximale des perturbations d’entrée par un problème ; pour les matrices il vaut ||A||·||A^{-1}|| et, en norme spectrale, le rapport des valeurs singulières extrêmes, guidant l’attente de sensibilité et la nécessité de stabilisation.