Medida numérica de cuán sensible es la salida de una función o la solución de un sistema lineal ante pequeñas perturbaciones relativas de la entrada; para matrices invertibles y una norma dada suele definirse como ||A||·||A^{-1}||, y en la norma espectral es la razón entre el mayor y el menor valor singular.

Principio

El número de condición cuantifica la amplificación relativa en el peor caso de un error de entrada hacia el error de salida para el problema y la norma especificados; separa el condicionamiento intrínseco del problema de la estabilidad del algoritmo y depende tanto del operador como de la elección de norma.

Demostración

Para la matriz diagonal 2×2 diag(100,1) en norma espectral el número de condición es 100/1=100, lo que indica que una perturbación relativa del 1% en la entrada puede producir hasta ~100% de cambio relativo en la solución. Para una matriz singular el número de condición es infinito, señalando que no existe una inversa estable.

Aplicación incorrecta

No especificar la norma al citar un número de condición o confundir un número alto con fallo algorítmico sin considerar el método. Usar el número de condición en norma 2 para predecir errores de un algoritmo cuya estabilidad está gobernada por otra norma induce errores de juicio.

Consecuencia

Un número de condición grande indica mal condicionamiento: las soluciones son muy sensibles y requieren regularización, mayor precisión o reformulación; un número cercano a 1 indica buen condicionamiento y que los errores se preservan en proporción.

Inversión

Interpretar un número de condición bajo como garantía de que el resultado computado será preciso sin tener en cuenta el algoritmo; la inversión es que un buen condicionamiento no sustituye el uso de algoritmos numéricamente estables.

Límite

Se define respecto a una norma y un problema concreto (inversión matricial, resolución lineal). Para problemas no lineales se usa un número de condición local a partir del jacobiano; para operadores no invertibles el número clásico es infinito y debe sustituirse por medidas condicionadas en subespacios o variantes regularizadas.

Tensión semántica

Hay tensión entre el condicionamiento del problema (sensibilidad intrínseca medida por el número de condición) y la estabilidad numérica (amplificación de errores por el algoritmo): un problema bien condicionado puede resolverse mal y un problema mal condicionado puede abordarse con regularización o algoritmos estabilizados.

Síntesis

El número de condición es un escalar dependiente de la norma que mide la amplificación relativa en el peor caso de perturbaciones de entrada por un problema; para matrices es ||A||·||A^{-1}|| y, en la norma espectral, la razón entre valores singulares extremos, orientando sobre sensibilidad y necesidad de estabilización.