Le rayon spectral d'un opérateur ou d'une matrice est la borne supérieure des valeurs absolues (modules) des éléments de son spectre ; noté r(A)=max{|λ|: λ∈σ(A)} lorsque le maximum existe.

Principe

Le rayon spectral mesure les taux de croissance asymptotique sous itération et est lié aux normes par des inégalités (r(A) ≤ ||A||) et, pour des éléments d'algèbres de Banach, par la formule de Gelfand r(A)=lim_{n→∞}||A^n||^{1/n} quand la limite existe.

Démonstration

Pour une matrice diagonale de valeurs diagonales 2,−3,1 le rayon spectral vaut 3. Pour une matrice nilpotente toutes les valeurs propres sont 0 et le rayon spectral est 0 même si certaines normes d'opérateurs des petites puissances peuvent être grandes.

Mauvaise application

Équivaloir la norme d'opérateur au rayon spectral est incorrect : le rayon spectral peut être strictement inférieur à une norme donnée. Utiliser des bornes en norme comme si elles étaient des valeurs spectrales exactes induit en erreur pour des prévisions asymptotiques.

Conséquence

Si le rayon spectral de A est <1 alors I−A est inversible et la série de Neumann converge ; le rayon spectral contrôle le comportement à long terme des puissances A^n et la stabilité des systèmes dynamiques linéaires et des schémas numériques.

Inversion

Considérer la notion inverse — le module minimal des points spectraux — met en évidence des écarts spectraux et des marges de stabilité ; un opérateur de rayon spectral 0 est quasinilpotent (tous les points spectraux sont 0) tandis qu'un grand rayon spectral signale une croissance possible.

Limite

Le rayon spectral n'a de sens qu'une fois le spectre défini et est généralement considéré sur C ; pour des opérateurs en dimension infinie surgissent des subtilités (par ex. le spectre approché influence la croissance), et l'égalité dans la formule de Gelfand peut nécessiter des conditions algébriques.

Tension sémantique

Il existe une tension entre rayon spectral, rayon numérique et norme d'opérateur : tous mesurent une taille mais avec des sens différents — le rayon spectral est spectral (taille asymptotique des valeurs propres), le rayon numérique concerne des formes quadratiques, et la norme mesure l'action sur les vecteurs.

Synthèse

Le rayon spectral est la grandeur spectrale principale : le plus grand module des valeurs spectrales, qui gouverne les puissances asymptotiques, les critères d'inversibilité comme la convergence de la série de Neumann, et indique les tendances de croissance ou décroissance de l'opérateur.