El radio espectral de un operador o matriz es el supremo de los valores absolutos (módulos) de los elementos de su espectro; simbólicamente r(A)=max{|λ|: λ∈σ(A)} cuando existe el máximo.

Principio

El radio espectral mide tasas de crecimiento asintótico bajo iteración y se relaciona con normas mediante desigualdades (r(A) ≤ ||A||) y, para elementos de álgebras de Banach, con la fórmula de Gelfand r(A)=lim_{n→∞}||A^n||^{1/n} cuando el límite existe.

Demostración

Para una matriz diagonal con entradas diagonales 2,−3,1 el radio espectral es 3. Para una matriz nilpotente todos los valores propios son 0 y el radio espectral es 0 a pesar de que las normas de potencias pequeñas puedan ser grandes.

Aplicación incorrecta

Igualar la norma de operador con el radio espectral es incorrecto: el radio espectral puede ser estrictamente menor que cualquier norma dada. Usar cotas de norma como si fueran valores espectrales exactos engaña en predicciones asintóticas.

Consecuencia

Si el radio espectral de A es <1 entonces I−A es invertible y la serie de Neumann converge; el radio espectral controla el comportamiento a largo plazo de las potencias A^n y la estabilidad de sistemas dinámicos lineales y esquemas numéricos.

Inversión

Considerar la noción inversa — el módulo mínimo de los puntos espectrales — destaca las brechas espectrales y los márgenes de estabilidad; un operador con radio espectral 0 es cuasinilpotente (todos los puntos espectrales en 0), mientras que un radio grande indica posible crecimiento.

Límite

El radio espectral tiene sentido sólo una vez definido el espectro y suele considerarse sobre C; para operadores en dimensión infinita surgen sutilezas (p. ej., el espectro aproximado influye en el crecimiento), y la igualdad en la fórmula de Gelfand puede requerir condiciones algebraicas.

Tensión semántica

Existe tensión entre radio espectral, radio numérico y norma de operador: todos miden tamaño pero con significados distintos — el radio espectral es espectral (tamaño asintótico de los valores propios), el radio numérico se relaciona con formas cuadráticas, y la norma mide la acción sobre vectores.

Síntesis

El radio espectral es la magnitud espectral principal: el mayor módulo de los valores espectrales, que gobierna las potencias asintóticas, criterios de invertibilidad como la convergencia de la serie de Neumann e indica tendencias de crecimiento o decaimiento del operador.