L'ensemble des scalaires λ du corps de base (généralement C) pour lesquels l'opérateur T−λI n'est pas inversible dans l'algèbre/topologie considérée ; pour des opérateurs bornés sur un espace de Banach, le spectre se décompose en parties ponctuelle, continue et résiduelle.

Principe

Le spectre caractérise l'échec d'inversibilité plutôt que de simples racines polynomiales ; c'est un invariant algébro-topologique déterminé à la fois par des équations algébriques et par la topologie de l'opérateur et qui contrôle le calcul fonctionnel et la stabilité.

Démonstration

Pour une matrice de dimension finie, le spectre coïncide avec l'ensemble (multiensemble) des valeurs propres (racines du polynôme caractéristique). Pour le décalage unilatéral sur l^2, le spectre est le disque unité fermé même s'il n'y a pas de valeurs propres dans le disque ouvert.

Mauvaise application

Supposer que le spectre est égal à l'ensemble des valeurs propres en dimension infinie mène à des erreurs : il peut exister des valeurs spectrales qui ne sont pas des valeurs propres (spectre continu) et ces valeurs influencent néanmoins la dynamique et le comportement du résolvant.

Conséquence

Connaître le spectre permet d'appliquer le théorème de transformation spectrale, de calculer le rayon spectral et de construire les résolvants et calculs fonctionnels ; il gouverne la croissance des itérés et la résolubilité des équations linéaires (T−λI)x=y.

Inversion

La notion complémentaire est l'ensemble résolvant : les scalaires pour lesquels T−λI est inversible bornée et dont l'opérateur résolvant existe et est analytique en λ. Aborder le problème via le résolvant met l'accent sur l'inversibilité et la dépendance analytique.

Limite

Le spectre dépend de la classe d'opérateurs et de la topologie : définitions et décompositions diffèrent entre matrices, opérateurs bornés sur des espaces de Banach, opérateurs non bornés sur des espaces de Hilbert et éléments d'algèbres de Banach. Sur des corps non algébriquement clos, le spectre peut être considéré dans un corps d'extension.

Tension sémantique

Il existe une tension entre « spectre » et « valeurs propres » : en dimension finie ils coïncident, mais en dimension infinie le spectre contient strictement les valeurs propres ; il faut distinguer spectre ponctuel, approché et résiduel pour éviter les confusions.

Synthèse

Le spectre est l'ensemble complet des paramètres scalaires qui empêchent l'inversibilité de T−λI dans le cadre algébro-topologique pertinent ; c'est l'invariant central qui détermine le comportement du résolvant, les mesures spectrales et l'applicabilité du calcul fonctionnel.