Die Menge der Skalare λ im Grundkörper (typischerweise C), für die der Operator T−λI in der betrachteten Algebra/Topologie nicht invertierbar ist; bei beschränkten Operatoren auf Banachräumen zerfällt das Spektrum in Punkt-, kontinuierlichen und residualen Teil.

Prinzip

Das Spektrum kennzeichnet das Versagen der Invertierbarkeit und nicht bloß Nullstellen von Polynomen; es ist ein algebraisch-topologisches Invariant, bestimmt sowohl durch algebraische Gleichungen als auch durch die Operator-Topologie und steuert den Funktionalkalkül und die Stabilität.

Demonstration

Für eine endlichdimensionale Matrix stimmt das Spektrum mit der Multimenge der Eigenwerte (Nullstellen des charakteristischen Polynoms) überein. Für die einseitige Verschiebung auf l^2 ist das Spektrum die abgeschlossene Einheitskreisscheibe, obwohl es keine Eigenwerte im Inneren gibt.

Fehlanwendung

Die Annahme, das Spektrum sei gleich der Menge der Eigenwerte in unendlichdimensionalen Situationen, ist irreführend: es kann Spektralwerte geben, die keine Eigenwerte sind (kontinuierliches Spektrum), und diese beeinflussen dennoch Dynamik und Verhalten des Resolvents.

Konsequenz

Die Kenntnis des Spektrums erlaubt Anwendung des Spektralsatzes, Berechnung des Spektralradius und Konstruktion von Resolventen und Funktionalkalkülen; es bestimmt das Langzeitverhalten von Iterationen und die Lösbarkeit linearer Gleichungen (T−λI)x=y.

Umkehrung

Die komplementäre Betrachtung ist die Resolventenmenge: Skalare, für die T−λI beschränkt invertierbar ist und deren Resolventenoperator existiert und in λ analytisch ist. Die Sichtweise über das Resolvent betont Invertierbarkeit und analytische Abhängigkeit.

Abgrenzung

Das Spektrum hängt von der Operatorenklasse und der Topologie ab: Definitionen und Zerlegungen unterscheiden sich zwischen Matrizen, beschränkten Operatoren auf Banachräumen, unbeschränkten Operatoren auf Hilberträumen und Elementen von Banachalgebren. Über nicht algebraisch abgeschlossenen Körpern wird das Spektrum eventuell in einer Erweiterung betrachtet.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen »Spektrum« und »Eigenwerten«: in endlichen Dimensionen stimmen sie überein, in unendlichen Dimensionen enthält das Spektrum jedoch streng die Eigenwerte; die Unterscheidung von Punkt-, approximativem und residualem Spektrum ist nötig, um Verwechslungen zu vermeiden.

Synthese

Das Spektrum ist die vollständige Menge der skalaren Parameter, die die Invertierbarkeit von T−λI im relevanten algebraisch-topologischen Umfeld verhindern; es ist das zentrale Invariant, das das Verhalten des Resolvents, spektrale Maße und die Anwendbarkeit des Funktionalkalküls bestimmt.