Pour une matrice n×n ou un opérateur linéaire, le polynôme caractéristique est le polynôme unitaire p(λ)=det(λI−A) dont les racines sont les valeurs propres de A (dans une clôture algébrique), avec des multiplicités égales aux multiplicités algébriques.

Principe

Le degré est la taille n de la matrice, les coefficients sont (à un signe près) les polynômes symétriques élémentaires des valeurs propres : le coefficient de λ^{n−1} est −trace(A) et le terme constant est (−1)^n det(A). Le théorème de Cayley–Hamilton affirme p(A)=0.

Démonstration

Exemple : pour A = [[2,1],[0,3]] sur R, p(λ)=det([[λ−2,−1],[0,λ−3]])=(λ−2)(λ−3)=λ^2−5λ+6 ; les valeurs propres 2 et 3 sont des racines de multiplicité algébrique 1 chacune.

Mauvaise application

Confondre le polynôme caractéristique avec le polynôme minimal : le polynôme caractéristique enregistre les multiplicités algébriques mais peut ne pas refléter le polynôme annihilant minimal ni les tailles des blocs de Jordan ; supposer des racines distinctes à partir du degré seul est hasardeux sur un corps non algébriquement clos.

Conséquence

Le polynôme caractéristique encode le spectre et fournit le déterminant et la trace comme coefficients ; il est central en analyse spectrale, pour prouver Cayley–Hamilton et pour la classification invariante des opérateurs linéaires à similarité près.

Inversion

Plutôt que d'utiliser le polynôme caractéristique pour étudier le spectre, on peut recourir au polynôme minimal ou à la forme canonique rationnelle pour obtenir une information plus fine sur la décomposition cyclique et les tailles de blocs de Jordan utiles à la classification par similarité.

Limite

Défini pour les opérateurs linéaires carrés ; les valeurs propres peuvent appartenir à une extension du corps de coefficients, les racines doivent donc être considérées dans une clôture algébrique ; pour des opérateurs en dimension infinie le polynôme caractéristique n'est généralement pas défini.

Tension sémantique

Tension entre polynôme caractéristique et polynôme minimal : tous deux annulent l'opérateur dans les contextes de Cayley–Hamilton mais diffèrent par leur degré et par la capture de la structure de Jordan ; tension aussi entre multiplicité algébrique des racines et multiplicité géométrique (dimension des espaces propres).

Synthèse

Le polynôme caractéristique est le polynôme unitaire det(λI−A) de degré n qui regroupe les valeurs propres et relie directement trace, déterminant et le théorème de Cayley–Hamilton, tout en laissant la structure fine de Jordan au polynôme minimal.