Für eine n×n-Matrix A bzw. einen linearen Operator ist das charakteristische Polynom das normierte Polynom p(λ)=det(λI−A), dessen Nullstellen die Eigenwerte von A (über einem algebraischen Abschluss) sind, mit Vielfachheiten gleich den algebraischen Vielfachheiten.

Prinzip

Der Grad entspricht der Matrizenordnung n, die Koeffizienten sind (bis auf Vorzeichen) die elementarsymmetrischen Polynome der Eigenwerte: der Koeffizient von λ^{n−1} ist −Spur(A), der konstante Term ist (−1)^n det(A). Der Cayley–Hamilton-Satz besagt p(A)=0.

Demonstration

Beispiel: Für A = [[2,1],[0,3]] über R ist p(λ)=det([[λ−2,−1],[0,λ−3]])=(λ−2)(λ−3)=λ^2−5λ+6; die Eigenwerte 2 und 3 sind Nullstellen mit algebraischer Vielfachheit 1.

Fehlanwendung

Das charakteristische Polynom mit dem Minimalpolynom verwechseln: das charakteristische Polynom notiert die algebraischen Vielfachheiten, erfasst aber nicht notwendigerweise das minimal annullierende Polynom oder die Größe der Jordanblöcke; aus dem Grad allein auf einfache Nullstellen zu schließen ist über einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper riskant.

Konsequenz

Das charakteristische Polynom kodiert das Spektrum und liefert Determinante und Spur als Koeffizienten; es ist zentral in der Spektralanalyse, beim Beweis von Cayley–Hamilton und bei der invarianten Klassifikation linearer Operatoren bis auf Ähnlichkeit.

Umkehrung

Statt das charakteristische Polynom zur Spektralanalyse zu nutzen, verwendet man das Minimalpolynom oder die rationale Normalform für feinere Strukturinformation über zyklische Zerlegungen und Jordanblock-Größen, die für Ähnlichkeitsklassifikation relevant sind.

Abgrenzung

Definiert für quadratische lineare Operatoren; Eigenwerte können in einer Erweiterung des Koeffizientenfeldes liegen, daher sind Nullstellen im algebraischen Abschluss zu betrachten; für unendlichdimensionale Operatoren ist das charakteristische Polynom im Allgemeinen nicht definiert.

Semantische Spannung

Spannung zwischen charakteristischem Polynom und Minimalpolynom: Beide annullieren den Operator in Cayley–Hamilton-Zusammenhängen, unterscheiden sich jedoch im Grad und in der Erfassung der Jordan-Struktur; außerdem Spannung zwischen algebraischer Vielfachheit der Nullstellen und geometrischer Vielfachheit (Dimension der Eigenräume).

Synthese

Das charakteristische Polynom ist das normierte Polynom det(λI−A) vom Grad n, das die Eigenwerte bündelt und eng mit Spur, Determinante und dem Cayley–Hamilton-Satz verknüpft ist, während feinere Jordan-Strukturen vom Minimalpolynom erfasst werden.