Le rang est le nombre maximal d'éléments linéairement indépendants dans un ensemble (sur un corps ou domaine précisé) ou, de façon équivalente en algèbre linéaire, la dimension de l'image (espace des colonnes ou des lignes) d'une application linéaire ou d'une matrice, exprimée par un entier.

Principe

Le rang quantifie les degrés de liberté ou la dimension de l'espace engendré par des vecteurs donnés ou de l'image d'une transformation linéaire ; il est invariant par changement de base et central pour la résolubilité et la classification des systèmes linéaires.

Démonstration

Une matrice 3×4 sur R qui possède trois lignes linéairement indépendantes a pour rang 3 ; par le théorème du rang et du noyau une application linéaire d'un espace de dimension 5 et de rang 3 a nullité 2, ce qui gouverne le nombre de variables libres dans les solutions des systèmes homogènes.

Mauvaise application

Confondre le rang avec le déterminant (un déterminant non nul indique un rang maximal seulement pour des matrices carrées), ou procéder à l'élimination de Gauss sans respecter le corps de base (par ex. réduire sur Z au lieu d'un corps), ce qui peut conduire à des conclusions erronées sur le rang.

Conséquence

Le rang détermine la résolubilité des systèmes linéaires, la dimension des espaces de solutions, l'inversibilité des applications linéaires (rang maximal pour les matrices carrées) et apparaît dans des décompositions structurelles comme la décomposition en valeurs singulières et la factorisation de rang.

Inversion

La notion complémentaire est la nullité ou le corang : un rang faible signifie une grande nullité et de nombreuses dépendances linéaires, tandis qu'un rang maximal indique un noyau minimal et une indépendance maximale.

Limite

Le rang est sans ambiguïté sur des corps ; sur des anneaux ou des modules généraux il faut distinguer rang libre, rang projectif ou notions de rang de module—ces extensions ne conservent pas toutes les propriétés du rang sur corps et peuvent être partielles ou dépendantes du contexte.

Tension sémantique

Le rang rivalise avec des mesures apparentées (dimension, taille, ordre) et avec des proxys numériques (normes de matrices) ; la tension apparaît quand on traduit entre décomptes combinatoires et dimension algébrique, surtout sur des non‑corps.

Synthèse

Le rang mesure les directions indépendantes : la dimension entière du sous‑espace engendré par des vecteurs ou de l'image d'une application linéaire, contrôlant la résolubilité, les degrés de liberté et les décompositions en algèbre linéaire et structures associées.