Definición
El rango es el número máximo de elementos linealmente independientes en un conjunto (sobre un campo o dominio especificado) o, equivalentemente en álgebra lineal, la dimensión de la imagen (espacio columna o fila) de una aplicación lineal o de una matriz, expresada como un entero.
Principio
Principio
El rango cuantifica los grados de libertad o la dimensión del espacio generado por vectores dados o de la imagen de una transformación lineal; es invariante frente al cambio de base y central para la solvencia y clasificación de sistemas lineales.
Demostración
Demostración
Una matriz 3×4 sobre R que tiene tres filas linealmente independientes tiene rango 3; por el teorema rango‑nulo, una aplicación lineal desde un espacio de dimensión 5 con rango 3 tiene nulidad 2, lo que gobierna el número de variables libres en las soluciones del sistema homogéneo.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Confundir rango con determinante (un determinante no nulo indica rango completo solo para matrices cuadradas), o aplicar eliminación gaussiana sin respetar el campo base (por ejemplo reducir sobre Z en vez de sobre un campo), lo que puede dar conclusiones erróneas sobre el rango.
Consecuencia
Consecuencia
El rango determina la solvencia de sistemas lineales, la dimensión de los espacios de soluciones, la invertibilidad de aplicaciones lineales (rango completo en matrices cuadradas) y aparece en descomposiciones estructurales como la descomposición en valores singulares y factorización de rango.
Inversión
Inversión
La noción complementaria es la nulidad o corango: bajo rango señala alta nulidad y muchas dependencias lineales, mientras que rango máximo indica núcleo mínimo e independencia máxima.
Límite
Límite
El rango es inequívoco sobre campos; sobre anillos o módulos generales hay que distinguir rango libre, rango proyectivo u otras nociones de rango de módulo: esas extensiones pueden no compartir todas las propiedades del rango sobre campos y dependen del contexto.
Tensión semántica
Tensión semántica
El rango compite con medidas relacionadas (dimensión, tamaño, orden) y con proxies numéricos (normas de matrices); la tensión surge al traducir entre recuentos combinatorios y dimensión algebraica, especialmente sobre no campos.
Síntesis
Síntesis
El rango mide direcciones independientes: la dimensión entera del subespacio generado por vectores o la imagen de una transformación lineal, controlando la solvencia, los grados de libertad y las descomposiciones en álgebra lineal y estructuras afines.