Un objet algébrique est sans torsion si ses éléments non nuls n'ont pas d'ordre fini sous l'opération pertinente ; dans le contexte des modules sur un domaine intègre, sans torsion signifie qu'aucun élément non nul n'est annihilé par un scalaire non nul.

Principe

Le sans-torsion caractérise l'absence d'éléments périodiques et permet souvent des plongements dans des espaces vectoriels ou des localisations ; il est complémentaire au sous-objet de torsion et central pour les décompositions structurelles.

Démonstration

Le groupe additif Z est sans torsion car aucun entier non nul n'a d'ordre additif fini. Tout sous-groupe d'un espace vectoriel sur Q est sans torsion car seul le vecteur nul peut être annihilé par un entier non nul.

Mauvaise application

Confondre sans-torsion avec libre (module libre ou projectif) — un groupe abélien sans torsion n'est pas nécessairement libre — ou employer le terme sur des anneaux à diviseurs de zéro sans ajuster la condition sur les annulateurs.

Conséquence

Les objets sans torsion présentent des propriétés d'extension et d'injection différentes : les groupes abéliens sans torsion peuvent s'injecter dans des espaces vectoriels après tensorisation par Q, et les résultats de classification séparent la partie sans torsion de la partie à torsion.

Inversion

L'introduction de la torsion crée des obstructions d'ordre fini, modifie les groupes d'extensions et empêche souvent des plongements dans des domaines sans torsion ; c'est le phénomène complémentaire au sans-torsion.

Limite

La signification précise dépend de l'anneau de base : sur un domaine intègre la définition standard s'applique, tandis que sur des anneaux avec diviseurs de zéro il faut raffiner la notion (par ex. exclure les éléments annihilés par des non‑diviseurs de zéro) ou utiliser une théorie de torsion adaptée à la catégorie.

Tension sémantique

Sans-torsion est parfois confondu avec libre ou plat ; la tension réside entre l'absence d'éléments d'ordre fini et des propriétés structurelles plus fortes (être libre, projectif ou divisible).

Synthèse

Sans-torsion désigne la partie d'un objet algébrique dépourvue de phénomènes d'ordre fini : aucun élément non nul n'est annihilé par les scalaires autorisés, permettant des plongements et des décompositions complémentaires à la composante de torsion.