La construction universelle catégorique qui amalgame deux objets le long d'un sous-objet commun pour former un objet fusionné coégaliseur ; concrètement c'est le colimite du diagramme A → B et A → C, produisant B ⨿_A C muni d'applications canoniques depuis B et C qui égalisent les deux flèches venant de A.

Principe

Pour des flèches f : A → B et g : A → C dans une catégorie disposant des colimites de cette forme, le pushout est un objet P et des morphismes i_B : B → P, i_C : C → P tels que i_B ∘ f = i_C ∘ g et P soit universel pour cette propriété ; le principe est l'amalgame minimal soumis aux identifications imposées par A.

Démonstration

Exemples : en Ensembles, le pushout est l'union disjointe B ⊔ C modulo l'identification f(a) ∼ g(a) ; en Groupes le pushout est le produit libre amalgamé B *_A C ; en anneaux commutatifs le pushout est le produit tensoriel B ⊗_A C sous hypothèses appropriées, et pour les schémas les pushouts sont plus subtils et requièrent des données de recollement et des conditions.

Mauvaise application

Supposer que les pushouts préservent les monomorphismes, les suites exactes ou d'autres propriétés de finitude dans des catégories quelconques ; confondre constructions catégoriques et constructions élémentaires (p.ex. assimiler des pushouts d'anneaux à des quotients élémentaires) peut mener à des objets algébriques erronés.

Conséquence

Une utilisation correcte produit des amalgames canoniques qui codent des données de recollement, permettent des énoncés de descente et construisent de nouveaux objets avec des identifications prescrites ; les pushouts apparaissent dans des présentations, des amalgames et dans la formation de quotients par relations issues d'un sous-objet commun.

Inversion

Le concept dual est le pullback (produit fibré), qui forme des limites en intersectant ou en tirant des objets le long d'applications vers une cible commune ; le pushout est le colimite dual qui coalesce le long d'une source commune.

Limite

Existe dans toute catégorie munie des colimites requises mais sa forme concrète et ses propriétés dépendent fortement de la catégorie ambiante ; toutes les catégories n'admettent pas de pushouts, et dans de nombreuses catégories algébriques des hypothèses supplémentaires (platitude, exactitude) influent sur le fait que des formules attendues (comme le produit tensoriel) réalisent le pushout.

Tension sémantique

Tension avec les notions de pullback/limite et avec le recollement naïf au niveau des éléments : les pushouts sont des colimites universelles et doivent être traités via des propriétés universelles catégoriques plutôt que par des identifications ad hoc au niveau des éléments, sauf si la catégorie permet de telles descriptions.

Synthèse

Une construction de pushout est l'amalgame universel minimal qui coégalise deux flèches issues d'une source commune, produisant un objet qui recolle les données données le long des identifications de la source et servant de colimite dual au pullback.