La construcción categórica universal que amalgama dos objetos a lo largo de un subobjeto común para formar un objeto fusionado que coequaliza; concretamente es el colímite del diagrama A → B y A → C, produciendo B ⨿_A C junto con las aplicaciones canónicas desde B y C que igualan las dos ramas desde A.

Principio

Dadas las flechas f: A → B y g: A → C en una categoría con colímites de esa forma, el pushout es un objeto P y morfismos i_B: B → P, i_C: C → P tales que i_B ∘ f = i_C ∘ g y P es universal con esa propiedad; el principio es la amalgamación mínima sujeta a la identificación impuesta por A.

Demostración

Ejemplos: en Conjuntos, el pushout es la unión disjunta B ⊔ C modulada por la identificación f(a) ∼ g(a); en Grupos es el producto libre amalgamado B *_A C; en anillos conmutativos el pushout es el producto tensorial B ⊗_A C bajo hipótesis adecuadas, y para esquemas los pushouts son más sutiles y requieren datos de pegado y condiciones.

Aplicación incorrecta

Asumir que los pushouts preservan monomorfismos, secuencias exactas u otras propiedades de finitud en categorías arbitrarias; confundir construcciones categóricas con pegados a nivel de elementos (p. ej. igualar pushouts de anillos con cocientes elementales) puede producir objetos algebraicos incorrectos.

Consecuencia

El uso correcto produce amalgamaciones canónicas que codifican datos de pegado, permiten afirmaciones de descenso y construyen nuevos objetos con identificaciones prescritas; los pushouts aparecen en presentaciones, amalgamas y en la formación de cocientes por relaciones provenientes de un subobjeto común.

Inversión

El concepto dual es el pullback (producto fibrado), que en cambio forma límites al intersectar o tirar atrás objetos a lo largo de aplicaciones hacia un objetivo común; el pushout es el dual colimital que coalesce a lo largo de una fuente común.

Límite

Existe en cualquier categoría con los colímites requeridos pero su forma concreta y propiedades dependen fuertemente de la categoría ambiente; no todas las categorías admiten pushouts, y en muchas categorías algebraicas hipótesis adicionales (planitud, exactitud) afectan a si fórmulas esperadas (como el tensor) realizan el pushout.

Tensión semántica

Tensión con nociones de pullback/límite y con pegados ingenuos a nivel de conjuntos: los pushouts son colímites universales y deben tratarse mediante propiedades universales categóricas más que por identificaciones ad hoc a nivel de elementos, salvo que la categoría permita tales descripciones.

Síntesis

Una construcción de pushout es la amalgamación universal mínima que coequaliza dos flechas procedentes de una fuente común, produciendo un objeto que pega los datos dados a lo largo de las identificaciones de la fuente y sirviendo como el colímite dual del pullback.