Le sous-objet obtenu en adjoignant à un sous-anneau donné tous les éléments d'un anneau ambiant qui satisfont à un polynôme unitaire à coefficients dans le sous-anneau ; autrement dit l'ensemble des éléments intégralement dépendants du sous-anneau.

Principe

On adjoind uniquement les éléments qui sont racines de polynômes unitaires à coefficients dans la base ; la dépendance intégrale est une condition algébrique finie caractérisée par l'existence de telles relations unitaires et stable par sommes et produits.

Démonstration

Pour le sous-anneau k[x^2,x^3] de k[x], la clôture intégrale dans k[x] est k[x] car x satisfait la relation unitaire t^2 - x^2 = 0 sur k[x^2,x^3] ; en théorie algébrique des nombres, la clôture intégrale de Z dans un corps de nombres donne son anneau des entiers.

Mauvaise application

Adjoindre des solutions de polynômes arbitraires (non unitaires) ou des éléments algébriques sans vérifier l'intégralité ; confondre la clôture intégrale avec la clôture algébrique ou la clôture radicale conduit à des inclusions erronées.

Conséquence

La clôture intégrale fournit un objet intégralement clos (normal) dans l'anneau ambiant ; l'intégralité contrôle la finitude et la montée/descente des propriétés et intervient au cœur de la normalisation et de l'atténuation des singularités.

Inversion

L'idée inverse consiste à restreindre aux éléments qui ne sont intégralement dépendants que dans des extensions plus petites ou à conserver un sous-anneau engendré par des éléments non intégraux ; on perd alors la propriété d'être intégralement clos et l'on peut réintroduire des singularités.

Limite

La clôture intégrale dépend de l'anneau ambiant : un élément intégral dans une sur-anneau peut ne pas l'être dans un autre. L'existence et la finitude de la clôture intégrale exigent des hypothèses (par ex. Noethérien, de type fini) pour la finitude ; la clôture intégrale n'est pas fonctorielle pour des morphismes arbitraires.

Tension sémantique

La clôture intégrale est en tension avec la clôture radicale et la clôture algébrique : la clôture intégrale porte sur des relations unitaires sur la base, la clôture radicale porte sur la prise de puissances, et la clôture algébrique porte sur une dépendance algébrique sans condition unitaire — notions voisines mais distinctes.

Synthèse

La clôture intégrale réunit exactement les éléments d'un anneau ambiant qui satisfont des relations unitaires sur un sous-anneau donné, produisant un enrichissement intégralement clos utilisé pour la normalisation, l'étude des singularités et les questions de finitude.