Der Unterobjekt, das durch Hinzunahme aller Elemente einer umgebenden Ringes entsteht, die eine normierte (monische) Polynomgleichung mit Koeffizienten im gegebenen Unterring erfüllen; kurz: die Menge der über dem Unterring integralen Elemente.

Prinzip

Man fügt genau diejenigen Elemente hinzu, die Nullstellen monischer Polynome mit Koeffizienten in der Basis sind; integrale Abhängigkeit ist eine endliche algebraische Bedingung, charakterisiert durch monische Relationen und abgeschlossen unter Addition und Multiplikation.

Demonstration

Für den Unterring k[x^2,x^3] in k[x] ist der integrale Abschluss in k[x] gleich k[x], denn x erfüllt die monische Gleichung t^2 - x^2 = 0 über k[x^2,x^3]; in der Zahlentheorie liefert der integrale Abschluss von Z in einem Zahlkörper dessen Ganzheitsring.

Fehlanwendung

Beliebige Polynomlösungen (nicht monisch) oder algebraische Elemente ohne Prüfung der Integrität beizufügen; die Verwechslung des integralen Abschlusses mit dem algebraischen Abschluss oder dem Radikalabschluss führt zu falschen Einschlüssen.

Konsequenz

Der integrale Abschluss ergibt ein integritäsgeschlossenes (normales) Objekt im gewählten umgebenden Ring; Integrität steuert Endlichkeit und Auf-/Abstieg von Eigenschaften und ist zentral für Normalisierung und die Behandlung von Singularitäten.

Umkehrung

Das Gegenbild ist die Einschränkung auf Elemente, die nur in kleineren Erweiterungen integral sind, oder die Wahl eines Unterrings, der nichtintegrale Elemente enthält; dabei geht die Eigenschaft der Integritätsabschluss verloren und Singularitäten können wieder auftreten.

Abgrenzung

Der integrale Abschluss hängt vom umgebenden Ring ab: Ein Element kann in einer Überring integral sein und in einer anderen nicht. Für Existenz und Endlichkeit des integralen Abschlusses sind Hypothesen (z. B. Noethersch, endlich erzeugt) nötig; der integrale Abschluss ist nicht für beliebige Ringmorphismen funktoriell.

Semantische Spannung

Der integrale Abschluss steht im Spannungsfeld mit Radikal- und algebraischem Abschluss: Integraler Abschluss betrifft monische Relationen über der Basis, Radikalabschluss das Ziehen von Wurzeln von Potenzen, und algebraischer Abschluss die allgemeine algebraische Abhängigkeit — verwandte, aber verschiedene Konzepte.

Synthese

Der integrale Abschluss fasst genau jene Elemente eines umgebenden Ringes zusammen, die monische Relationen über einem Unterring erfüllen, und liefert so eine integritätsgeschlossene Erweiterung, die für Normalisierung, Singularitätsanalyse und Endlichkeitsfragen grundlegend ist.