Une chaîne finie de sous-objets 0 = M_0 < M_1 < ... < M_n = M (pour des modules, des groupes ou structures algébriques similaires) telle que chaque quotient successif M_{i+1}/M_i soit simple (n'admette pas de sous-objets propres non triviaux). La chaîne sert à décomposer l'objet en blocs irréductibles appelés facteurs de composition.

Principe

Organiser un objet par une suite sous-normale finie dont les facteurs successifs sont des objets minimaux non nuls (objets simples) ; les facteurs de composition rendent compte des constituants irréductibles qui ne peuvent pas être davantage décomposés dans la catégorie.

Démonstration

Pour le groupe symétrique S_3 on peut prendre la chaîne {e} < A_3 < S_3 avec A_3/{e} ≅ C3 et S_3/A_3 ≅ C2 ; ces quotients sont des groupes simples, donc la chaîne est une série de composition et les facteurs de composition sont C3 et C2.

Mauvaise application

Prétendre qu'une série de composition existe pour tout objet sans conditions de finitude — par exemple exiger une série pour un espace vectoriel de dimension infinie ou un groupe infini sans longueur finie — méconnaît la condition de longueur finie et conduit à des chaînes inexistantes.

Conséquence

Lorsque la série de composition existe, le multiensemble des facteurs de composition est bien défini à permutation près par le théorème de Jordan–Hölder, fournissant un invariant canonique pour la classification et la comparaison des objets de longueur finie.

Inversion

Au lieu d'une chaîne aux quotients successifs simples, considérer une suite sous-normale dont les quotients successifs sont composés et admettent des sous-objets non triviaux ; cette inversion met en évidence une décomposition non irréductible et l'absence d'unicité des facteurs.

Limite

S'applique uniquement aux objets de longueur finie (p.ex. groupes finis, modules de longueur finie ou modules artiniens/noethériens) ; exclut les chaînes infinies, les catégories sans notion d'objet simple ou les chaînes dont les quotients ne sont pas simples.

Tension sémantique

Tension entre 'série de composition' et 'série principale' (série normale maximale), et entre l'existence d'une série de composition et des filtrations plus faibles de type Jordan–Hölder qui demandent des hypothèses supplémentaires.

Synthèse

Une série de composition est une filtration finie réduisant un objet algébrique en une suite de quotients simples ; quand elle existe, elle isole les constituants irréductibles et, via le principe de Jordan–Hölder, fournit un multiensemble stable de blocs élémentaires pour la classification.