Un automorphisme donné par conjugaison par un élément inversible fixé de la structure ambiante : pour un groupe G et a ∈ G inversible, φ_a(g)=a g a^{-1} est un automorphisme intérieur.

Principe

Les automorphismes intérieurs sont les symétries réalisées par les éléments mêmes de l'objet agissant par conjugaison ; ils forment un sous‑groupe normal Inn(A) du groupe complet des automorphismes Aut(A).

Démonstration

Dans un groupe G, l'application g ↦ a g a^{-1} pour un a fixé dans G est un automorphisme intérieur ; dans un anneau unitaire ou une algèbre, x ↦ u x u^{-1} pour une unité u est un automorphisme intérieur de la structure multiplicative (compatible avec l'addition si pertinent).

Mauvaise application

Qualifier de 'intérieure' la conjugaison par un élément non inversible ou omettre de vérifier que l'élément de conjugaison appartient au groupe des unités approprié ; considérer à tort tout automorphisme comme intérieur alors que des automorphismes extérieurs existent.

Conséquence

Les automorphismes intérieurs rendent compte des symétries liées aux classes de conjugaison et déterminent des propriétés de normalité ; Inn(A) est normal dans Aut(A) et le quotient Out(A)=Aut(A)/Inn(A) mesure les symétries extérieures non réalisées intérieurement.

Inversion

Un automorphisme extérieur est un automorphisme non réalisable par conjugaison ; inverser la condition isole des symétries requérant une extension ou un renommage au‑delà de la conjugaison interne.

Limite

S'applique uniquement lorsque la conjugaison par éléments inversibles est définie (groupes, anneaux unitaires, groupes d'unités d'algèbres) ; toutes les catégories n'autorisent pas la distinction intérieur/extérieur, et dans certains contextes 'intérieur' peut exiger des ajustements centraux.

Tension sémantique

Tension avec le terme 'automorphisme' en général : tous les automorphismes intérieurs sont des automorphismes mais l'inverse n'est pas vrai ; tension également entre l'action intérieure sur les objets et les classes de conjugaison, ainsi qu'avec les automorphismes centraux qui agissent trivialement sur la structure des commutateurs.

Synthèse

Un automorphisme intérieur est une symétrie réalisée par conjugaison par un élément inversible de la structure, formant un sous‑groupe normal caractéristique de Aut qui organise les symétries de conjugaison tout en laissant un quotient mesurant les automorphismes véritablement externes.