Un automorfismo dado por conjugación por un elemento invertible fijo de la estructura ambiente: para un grupo G y a ∈ G invertible, la aplicación φ_a(g)=a g a^{-1} es un automorfismo interno.

Principio

Los automorfismos internos son las simetrías realizadas por los propios elementos del objeto actuando por conjugación; forman un subgrupo normal Inn(A) del grupo completo de automorfismos Aut(A).

Demostración

En un grupo G, la aplicación g ↦ a g a^{-1} para un a fijo en G es un automorfismo interno; en un anillo unital o en una álgebra, x ↦ u x u^{-1} para una unidad u es un automorfismo interno de la estructura multiplicativa (compatible con la suma cuando procede).

Aplicación incorrecta

Llamar 'interno' a la conjugación por un elemento no invertible o no comprobar que el elemento de conjugación pertenece al grupo de unidades correspondiente; también tratar erróneamente todo automorfismo como interno cuando pueden existir automorfismos externos.

Consecuencia

Los automorfismos internos capturan simetrías relacionadas con la conjugación y determinan propiedades de normalidad; Inn(A) es normal en Aut(A) y el cociente Out(A)=Aut(A)/Inn(A) mide las simetrías externas no realizadas internamente.

Inversión

Un automorfismo externo es uno que no se puede representar por conjugación; invertir la condición aísla simetrías que requieren una extensión o un renombrado más allá de la conjugación interna.

Límite

Se aplica sólo donde la conjugación por elementos invertibles está definida (grupos, anillos con unidad, grupos de unidades de álgebras); no todas las categorías admiten la distinción interno/externo, y en algunos contextos 'interno' puede requerir ajustes centrales.

Tensión semántica

Tensión con 'automorfismo' en general: todos los automorfismos internos son automorfismos pero no al revés; también existe tensión entre la acción interna sobre objetos y las clases de conjugación, así como con los automorfismos centrales que actúan trivialmente sobre la estructura de conmutadores.

Síntesis

Un automorfismo interno es una simetría realizada por conjugación con un elemento invertible de la estructura, que forma un subgrupo normal característico de Aut y organiza las simetrías por conjugación mientras deja un cociente que mide los automorfismos genuinamente externos.