Une application préservant la structure entre deux objets algébriques (par exemple groupes, anneaux, modules ou espaces vectoriels) qui commute avec les opérations définissantes : pour une opération •, f(x •_A y) = f(x) •_B f(y).

Principe

Un homomorphisme doit traduire les lois algébriques de la source en lois correspondantes dans le but en commutant avec chaque opération pertinente.

Démonstration

Un homomorphisme de groupes f : G → H vérifie f(xy)=f(x)f(y) ; une application linéaire entre espaces vectoriels préserve l'addition et la multiplication par un scalaire et est donc un homomorphisme de modules.

Mauvaise application

Qualifier une fonction arbitraire d'homomorphisme sans vérifier la préservation des opérations (par exemple une application entre groupes telle que f(ab) ≠ f(a)f(b)), ou omettre la compatibilité avec l'élément unité ou les scalaires lorsque le contexte l'exige.

Conséquence

Les images des homomorphismes sont des sous-structures du codomaine ; les noyaux mesurent le défaut d'injectivité ; les homomorphismes induisent des structures quotient et permettent des résultats de classification et de factorisation.

Inversion

Un anti-homomorphisme inverse l'ordre d'une opération binaire (par ex. f(ab)=f(b)f(a)) ; de telles applications ne conservent pas l'opération d'origine mais en inversent l'ordre de composition.

Limite

Le terme homomorphisme concerne uniquement la préservation des opérations algébriques explicitement en jeu ; il n'implique pas en soi bijectivité, continuité, compatibilité topologique, graduation ou autres structures supplémentaires sauf si celles-ci sont précisées.

Tension sémantique

Souvent confondu avec isomorphisme : tous deux préservent la structure, mais l'isomorphisme exige une inverse bilatérale ; il est aussi parfois confondu avec une simple application d'ensembles qui n'est homomorphisme que sur certains éléments.

Synthèse

Un homomorphisme est une application qui préserve les opérations entre objets algébriques, transportant les relations et opérations de la source vers le codomaine, et permettant la construction d'images, de noyaux et de quotients sans exiger l'inversibilité.