Una aplicación que preserva la estructura entre dos objetos algebraicos (por ejemplo grupos, anillos, módulos o espacios vectoriales) y que conmuta con las operaciones definitorias: para una operación •, f(x •_A y) = f(x) •_B f(y).

Principio

Un homomorfismo debe trasladar las leyes algebraicas de la fuente a leyes correspondientes en el codominio al conmutar con cada operación relevante.

Demostración

Un homomorfismo de grupos f: G → H satisface f(xy)=f(x)f(y); una aplicación lineal entre espacios vectoriales preserva la suma y la multiplicación por escalares y por tanto es un homomorfismo de módulos.

Aplicación incorrecta

Llamar homomorfismo a una función cualquiera sin verificar la preservación de las operaciones (por ejemplo, una aplicación entre grupos con f(ab) ≠ f(a)f(b)), u omitir la compatibilidad con la unidad o los escalares cuando el contexto lo exige.

Consecuencia

Las imágenes de homomorfismos son subestructuras del codominio; los núcleos miden la falta de inyectividad; los homomorfismos inducen estructuras cociente y permiten resultados de clasificación y factorización.

Inversión

Un antihomomorfismo invierte el orden de una operación binaria (p. ej. f(ab)=f(b)f(a)); tales aplicaciones no preservan la operación original sino que invierten el orden de composición.

Límite

Homomorfismo se refiere únicamente a la preservación de las operaciones algebraicas explícitas; no implica por sí mismo biyectividad, continuidad, compatibilidad topológica, gradación u otras estructuras adicionales salvo que se especifiquen.

Tensión semántica

A menudo se confunde con isomorfismo: ambos preservan la estructura, pero el isomorfismo exige una inversa en ambos sentidos; también se confunde con una simple función de conjuntos que solo es homomorfismo en ciertos puntos.

Síntesis

Un homomorfismo es una aplicación que preserva las operaciones entre objetos algebraicos, trasladando relaciones y operaciones al codominio y posibilitando la construcción de imágenes, núcleos y cocientes sin requerir invertibilidad.