Ensemble muni d'une opération binaire associative ; un semi-groupe n'a pas nécessairement d'élément neutre ni d'inverses pour ses éléments.

Principe

La règle organisatrice est l'associativité : pour tous a,b,c, (a·b)·c = a·(b·c). L'absence d'identité et d'inverses est admise ; la théorie étudie les idéaux, les relations de Green et les idempotents sur cette base minimale.

Démonstration

Les entiers positifs strictement supérieurs à zéro munis de l'addition (en excluant 0) forment un semi-groupe car l'addition est associative mais il n'y a pas d'élément neutre dans l'ensemble ; de même, les mots non vides sur un alphabet pour la concaténation forment un semi-groupe si on exclut le mot vide.

Mauvaise application

Supposer l'existence d'un neutre, d'inverses, la cancellativité ou une décomposition de type groupe sans vérifier les axiomes ; cela conduit à des manipulations algébriques incorrectes ou à la fausse idée qu'on peut adjoindre des inverses sans changer les propriétés.

Conséquence

Les semi-groupes fournissent le cadre algébrique minimal pour étudier la composition itérative et sont fondamentaux en théorie des automates, combinatoire sur les mots et pour construire des monoïdes en adjoignant un neutre ; ils modélisent des dynamiques non inversibles.

Inversion

Ajouter la contrainte d'un élément neutre donne un monoïde ; exiger en plus des inverses pour chaque élément donne un groupe. Supprimer l'associativité mène à un magma, qui manque de la régularité structurelle du semi-groupe.

Limite

Les semi-groupes excluent les opérations partielles et supposent en général une opération binaire totale ; ils ne nécessitent pas la commutativité, la topologie ou la notation additive, et des sous-classes (semi-groupes inversibles, bandes) imposent des conditions supplémentaires.

Tension sémantique

Tension terminologique entre semi-groupe et monoïde (certains textes considèrent le semi-groupe comme pouvant posséder un neutre) et entre magma, semi-groupe et compositions catégoriques ; le contexte précise quels axiomes valent.

Synthèse

Un semi-groupe est le noyau associatif de la composition algébrique : muni seulement d'une opération binaire associative, il modèle la combinaison répétée sans présumer d'éléments neutres ni d'inverses, servant de base à des structures algébriques plus riches.