Conjunto provisto de una operación binaria asociativa; un semigrupo no necesita poseer elemento identidad ni inversos para sus elementos.

Principio

La regla organizadora es la asociatividad: para todo a,b,c se cumple (a·b)·c = a·(b·c). Se admite la ausencia de identidad e inversos; la teoría estructura estudia ideales, las relaciones de Green y los idempotentes con este conjunto mínimo de axiomas.

Demostración

Los enteros positivos estrictos (excluyendo el 0) con la suma forman un semigrupo, porque la suma es asociativa pero el conjunto no contiene elemento neutro; asimismo, las palabras no vacías sobre un alfabeto con la concatenación forman un semigrupo si se excluye la palabra vacía.

Aplicación incorrecta

Suponer la existencia de identidad, inversos, cancelatividad o descomposiciones tipo grupo sin verificar los axiomas; esto conduce a manipulaciones algebraicas erróneas o a creer falsamente que se pueden adosar inversos sin alterar propiedades.

Consecuencia

Los semigrupos dan el contexto algebraico mínimo para estudiar la composición iterada y son fundamentales en teoría de autómatas, combinatoria de palabras y en la construcción de monoides por adición de identidad; modelan dinámicas no invertibles.

Inversión

Agregar la exigencia de un elemento identidad produce un monoide; exigir además inversos para cada elemento produce un grupo. Eliminar la asociatividad genera un magma, que carece de la regularidad estructural propia del semigrupo.

Límite

Los semigrupos excluyen operaciones parciales y suelen asumir una operación binaria total; no requieren conmutatividad ni topología, y subclases específicas (semigrupos inversos, bandas) imponen condiciones adicionales.

Tensión semántica

Existe tensión entre la terminología semigrupo y monoide (algunos textos permiten identidad en la definición) y entre magma, semigrupo y composiciones en teoría de categorías; el contexto aclara los axiomas vigentes.

Síntesis

Un semigrupo es el núcleo asociativo de la composición algebraica: con solo una operación binaria asociativa modela la combinación repetida sin presumir identidad ni inversos, sirviendo de base para estructuras algebraicas más complejas.